Решит

Дано:
При делении трехзначного числа на 5, 7, 11 дают в остатке 2. Необходимо найти это число, при условии, что две из трех цифр числа одинаковые.

Обозначим число как \( xyz \), где \( x \), \( y \), и \( z \) — его цифры.

Задача сводится к поиску числа, которое при делении на 5, 7, 11 даёт остаток 2, а также при этом две цифры числа одинаковые.

Шаг 1. Найти число по условию деления с остатком 2

Нам нужно найти число, которое при делении на 5, 7, 11 даёт остаток 2.

Это значит, что число \( N \) удовлетворяет следующим условиям:

\[ N \equiv 2 \pmod{5} \\ N \equiv 2 \pmod{7} \\ N \equiv 2 \pmod{11} \]

Шаг 2. Решить систему сравнимых конгруэнций

Обратим внимание, что число дает остаток 2 при делении на все эти числа. Следовательно, его кратное модулю (их произведение, так как числа взаимно просты: 5, 7 и 11).

Подсчитаем произведение:

\[ M = 5 \times 7 \times 11 = 385 \]

Обозначим:

\[ N \equiv 2 \pmod{385} \]

Это значит, что искомое число имеет вид:

\[ N = 385k + 2 \]

где \( k \) — целое число.

Шаг 3. Перебор вариантов

Наименьшее число — для \( k=0 \):

\[ N=2 \] — очень мало для трехзначного числа.

Переходим к следующему:

\[ k=1: N=385 \times 1 + 2 = 387 \]

Это число — трехзначное, и оно соответствует условиям деления с остатком 2.

Шаг 4. Проверить цифры числа \( 387 \)

Цифры: 3, 8, 7.

Две цифры одинаковые? Нет.
Значит, это не подходит.

Шаг 5. Попробовать \( k=2 \):

\[ N=385 \times 2 + 2=770+2=772 \]

Цифры: 7, 7, 2.
Две цифры одинаковые — подходит!

Ответ:

\[ \boxed{772} \]

Это число, которое при делении на 5, 7, 11 даёт остатки 2, и у него две одинаковые цифры (7 и 7).