Решит

Дано: При делении трехзначного числа на 5, 7, 11 дают в остатке 2. Необходимо найти это число, при условии, что две из трех цифр числа одинаковые. Обозначим число как \( xyz \), где \( x \), \( y \), и \( z \) — его цифры. Задача сводится к поиску числа, которое при делении на 5, 7, 11 даёт остаток 2, а также при этом две цифры числа одинаковые. --- ### Шаг 1. Найти число по условию деления с остатком 2 Нам нужно найти число, которое при делении на 5, 7, 11 даёт остаток 2. Это значит, что число \( N \) удовлетворяет следующим условиям: \[ N \equiv 2 \pmod{5} \\ N \equiv 2 \pmod{7} \\ N \equiv 2 \pmod{11} \] --- ### Шаг 2. Решить систему сравнимых конгруэнций Обратим внимание, что число дает остаток 2 при делении на все эти числа. Следовательно, его кратное модулю (их произведение, так как числа взаимно просты: 5, 7 и 11). Подсчитаем произведение: \[ M = 5 \times 7 \times 11 = 385 \] Обозначим: \[ N \equiv 2 \pmod{385} \] Это значит, что искомое число имеет вид: \[ N = 385k + 2 \] где \( k \) — целое число. --- ### Шаг 3. Перебор вариантов Наименьшее число — для \( k=0 \): \[ N=2 \] — очень мало для трехзначного числа. Переходим к следующему: \[ k=1: N=385 \times 1 + 2 = 387 \] Это число — трехзначное, и оно соответствует условиям деления с остатком 2. --- ### Шаг 4. Проверить цифры числа \( 387 \) Цифры: 3, 8, 7. Две цифры одинаковые? Нет. Значит, это не подходит. --- ### Шаг 5. Попробовать \( k=2 \): \[ N=385 \times 2 + 2=770+2=772 \] Цифры: 7, 7, 2. Две цифры одинаковые — подходит! --- ### **Ответ:** \[ \boxed{772} \] Это число, которое при делении на 5, 7, 11 даёт остатки 2, и у него две одинаковые цифры (7 и 7).