Упростить выражение: ( 2+ x 1 4 2− x 1 4 − 2− x 1 4 2+ x 1 4 ): x 3 4 4− x − − √

Конечно! Рассмотрим выражение, которое нужно упростить:

\[ \left( \frac{2 + x^{1/4}}{2 - x^{1/4}} - \frac{2 - x^{1/4}}{2 + x^{1/4}} \right) \cdot \frac{x^{3/4}}{4 - x} \]

Шаг 1: Обозначим \( a = x^{1/4} \) для удобства. Тогда выражение превращается в:

\[ \left( \frac{2 + a}{2 - a} - \frac{2 - a}{2 + a} \right) \cdot \frac{a^{3}}{4 - x} \]

(так как \( x^{3/4} = (x^{1/4})^{3} = a^{3} \)). Также заметим, что \( 4 - x = 4 - a^{4} \).

Шаг 2: Рассмотрим внутренние скобки:

\[ \frac{2 + a}{2 - a} - \frac{2 - a}{2 + a} \]

Чтобы объединить эти дроби, найдем общий знаменатель:

\[ (2 - a)(2 + a) = 4 - a^{2} \]

Перепишем числители с этим знаменателем:

\[ \frac{(2 + a)^2 - (2 - a)^2}{4 - a^{2}} \]

Это разность двух квадратов, которая равна:

\[ (2 + a)^2 - (2 - a)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ (2 + a)^2 = 4 + 4a + a^{2} \] \[ (2 - a)^2 = 4 - 4a + a^{2} \]

Теперь вычитаем:

\[ (4 + 4a + a^{2}) - (4 - 4a + a^{2}) = 4 + 4a + a^{2} - 4 + 4a - a^{2} = (4 - 4) + (4a + 4a) + (a^{2} - a^{2}) = 8a \]

Итак, внутренняя часть скобки равна:

\[ \frac{8a}{4 - a^{2}} \]

Шаг 3: Обратим внимание, что:

\[ 4 - a^{2} = (2)^2 - (a)^2 = (2 - a)(2 + a) \]

То есть,

\[ \left( \frac{2 + a}{2 - a} - \frac{2 - a}{2 + a} \right) = \frac{8a}{(2 - a)(2 + a)} \]

Шаг 4: Теперь весь выражение с учетом этого:

\[ \frac{8a}{(2 - a)(2 + a)} \cdot \frac{a^{3}}{4 - a^{4}} \]

Обозначим, что \( 4 - a^{4} \) — это разность:

\[ 4 - a^{4} = (2)^2 - (a^{2})^{2} = (2 - a^{2})(2 + a^{2}) \]

Шаг 5: Запишем все:

\[ \frac{8a}{(2 - a)(2 + a)} \cdot \frac{a^{3}}{(2 - a^{2})(2 + a^{2})} \]

Объединим:

\[ \frac{8a \cdot a^{3}}{(2 - a)(2 + a)(2 - a^{2})(2 + a^{2})} \]

или

\[ \frac{8 a^{4}}{(2 - a)(2 + a)(2 - a^{2})(2 + a^{2})} \]

Шаг 6: Раскроем \( 2 - a^{2} \) и \( 2 + a^{2} \) в виде произведений:

\[ 2 - a^{2} = ( \sqrt{2} - a)(\sqrt{2} + a) \] \[ 2 + a^{2} = (\sqrt{2} - ia)(\sqrt{2} + ia) \quad (где i - мнимая единица, но в данном случае проще оставить в виде разности и суммы) Но проще оставить как есть, так как в знаменателе наперед вынесены такие выражения. Шаг 7: Итоговая форма: \[ \boxed{ \frac{8a^{4}}{(2 - a)(2 + a)(2 - a^{2})(2 + a^{2})} } \]

Это — упрощенное выражение. Если желаете, можно оставить в такой форме или раскрывать скобки дальше.

Ответ:

\[ \boxed{ \frac{8 x^{1}}{(2 - x^{1/4})(2 + x^{1/4})(2 - x^{1/2})(2 + x^{1/2})} } \]

или в более компактной форме:

\[ \frac{8 x}{(2 - x^{1/4})(2 + x^{1/4})(2 - x^{1/2})(2 + x^{1/2})} \]

Это — окончательное и более сокращенное упрощение исходного выражения.