Упростить выражение: ( 2+ x 1 4 2− x 1 4 − 2− x 1 4 2+ x 1 4 ): x 3 4 4− x − − √

Конечно! Рассмотрим выражение, которое нужно упростить: \[ \left( \frac{2 + x^{1/4}}{2 - x^{1/4}} - \frac{2 - x^{1/4}}{2 + x^{1/4}} \right) \cdot \frac{x^{3/4}}{4 - x} \] Шаг 1: Обозначим \( a = x^{1/4} \) для удобства. Тогда выражение превращается в: \[ \left( \frac{2 + a}{2 - a} - \frac{2 - a}{2 + a} \right) \cdot \frac{a^{3}}{4 - x} \] (так как \( x^{3/4} = (x^{1/4})^{3} = a^{3} \)). Также заметим, что \( 4 - x = 4 - a^{4} \). Шаг 2: Рассмотрим внутренние скобки: \[ \frac{2 + a}{2 - a} - \frac{2 - a}{2 + a} \] Чтобы объединить эти дроби, найдем общий знаменатель: \[ (2 - a)(2 + a) = 4 - a^{2} \] Перепишем числители с этим знаменателем: \[ \frac{(2 + a)^2 - (2 - a)^2}{4 - a^{2}} \] Это разность двух квадратов, которая равна: \[ (2 + a)^2 - (2 - a)^2 \] Раскроем скобки: \[ (2 + a)^2 = 4 + 4a + a^{2} \] \[ (2 - a)^2 = 4 - 4a + a^{2} \] Теперь вычитаем: \[ (4 + 4a + a^{2}) - (4 - 4a + a^{2}) = 4 + 4a + a^{2} - 4 + 4a - a^{2} = (4 - 4) + (4a + 4a) + (a^{2} - a^{2}) = 8a \] Итак, внутренняя часть скобки равна: \[ \frac{8a}{4 - a^{2}} \] Шаг 3: Обратим внимание, что: \[ 4 - a^{2} = (2)^2 - (a)^2 = (2 - a)(2 + a) \] То есть, \[ \left( \frac{2 + a}{2 - a} - \frac{2 - a}{2 + a} \right) = \frac{8a}{(2 - a)(2 + a)} \] Шаг 4: Теперь весь выражение с учетом этого: \[ \frac{8a}{(2 - a)(2 + a)} \cdot \frac{a^{3}}{4 - a^{4}} \] Обозначим, что \( 4 - a^{4} \) — это разность: \[ 4 - a^{4} = (2)^2 - (a^{2})^{2} = (2 - a^{2})(2 + a^{2}) \] Шаг 5: Запишем все: \[ \frac{8a}{(2 - a)(2 + a)} \cdot \frac{a^{3}}{(2 - a^{2})(2 + a^{2})} \] Объединим: \[ \frac{8a \cdot a^{3}}{(2 - a)(2 + a)(2 - a^{2})(2 + a^{2})} \] или \[ \frac{8 a^{4}}{(2 - a)(2 + a)(2 - a^{2})(2 + a^{2})} \] Шаг 6: Раскроем \( 2 - a^{2} \) и \( 2 + a^{2} \) в виде произведений: \[ 2 - a^{2} = ( \sqrt{2} - a)(\sqrt{2} + a) \] \[ 2 + a^{2} = (\sqrt{2} - ia)(\sqrt{2} + ia) \quad (где i - мнимая единица, но в данном случае проще оставить в виде разности и суммы) Но проще оставить как есть, так как в знаменателе наперед вынесены такие выражения. Шаг 7: Итоговая форма: \[ \boxed{ \frac{8a^{4}}{(2 - a)(2 + a)(2 - a^{2})(2 + a^{2})} } \] Это — упрощенное выражение. Если желаете, можно оставить в такой форме или раскрывать скобки дальше. **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{8 x^{1}}{(2 - x^{1/4})(2 + x^{1/4})(2 - x^{1/2})(2 + x^{1/2})} } \] или в более компактной форме: \[ \frac{8 x}{(2 - x^{1/4})(2 + x^{1/4})(2 - x^{1/2})(2 + x^{1/2})} \] Это — окончательное и более сокращенное упрощение исходного выражения.