Давайте решим уравнение ( 16^{x-9} = \frac{1}{2} ).
Шаг 1: Записать исходное уравнение
[ 16^{x-9} = \frac{1}{2} ]
Шаг 2: Представить основание 16 через степень двойки
Поскольку 16 — это степень двойки:
[ 16 = 2^4 ]
Тогда:
[ 16^{x-9} = (2^4)^{x-9} ]
Используя свойства степеней:
[ (a^b)^c = a^{b \cd c} ]
получаем:
[ (2^4)^{x-9} = 2^{4(x-9)} ]
Теперь уравнение:
[ 2^{4(x-9)} = \frac{1}{2} ]
Шаг 3: Записать правую часть в виде степени двойки
Поскольку:
[ \frac{1}{2} = 2^{-1} ]
то уравнение принимает вид:
[ 2^{4(x-9)} = 2^{-1} ]
Шаг 4: Приравнять показатели степеней
Так как основания равны (оба — 2), то их показатели тоже равны:
[ 4(x - 9) = -1 ]
Шаг 5: Решить уравнение
Разделим обе части на 4:
[ x - 9 = -\frac{1}{4} ]
Добавим 9 к обеим частям:
[ x = 9 - \frac{1}{4} ]
Запишем в виде десятичной дроби или в виде смешанного числа:
[ 9 - \frac{1}{4} = \frac{36}{4} - \frac{1}{4} = \frac{35}{4} ]
Итог:
[
\boxed{
x = \frac{35}{4}
}
]
или в десятичной форме:
[
x = 8.75
]
Если нужно, я могу дополнительно объяснить каждый шаг или ответить на дополнительные вопросы!
