Давайте приступим к решению каждого задания по порядку с подробными объяснениями.
Задача 1. Точка, лежащая на оси ординат
Ответ:
Точка лежит на оси ординат, если её абсцисса (x) равна 0.
То есть: точка имеет вид (0, y), где y — любое число.
Задача 2. Решение системы уравнений с двумя неизвестными
Уравнения:
a) ( +7v - 8 = 0 ) — здесь, похоже, опечатка, предположим, что это уравнение относится к переменной (v).
б) ( 2(2x - y) + 3(2x + y) = 32 )
Задача 2. Б. Решим систему уравнений:
[ 2(2x - y) + 3(2x + y) = 32 ]
Шаг 1. Раскроем скобки:
[ 4x - 2y + 6x + 3y = 32 ]
Шаг 2. Объединим подобные слагаемые:
[ (4x + 6x) + (-2y + 3y) = 32 ]
[ 10x + y = 32 ]
Это уравнение №1.
Задача 3. Решение систем уравнений методом подстановки
Даны системы:
а)
[ \text{fx + 7y = -6} ] — предположим, что вместо "fx" слово "x" (может быть опечатка),
то есть:
[ x + 7y = -6 ] — Это уравнение №1.
Б)
[ 2x - 5y = 7 ] — уравнение №2.
Решение (метод подстановки):
Шаг 1. Выразим (x) из уравнения №1:
[ x = -6 - 7y ]
Шаг 2. Подставим выражение для (x) в уравнение №2:
[ 2(-6 - 7y) - 5y = 7 ]
Шаг 3. Раскроем скобки:
[ -12 - 14y - 5y = 7 ]
Шаг 4. Объединим подобные слагаемые:
[ -12 - 19y = 7 ]
Шаг 5. Решим уравнение относительно (y):
[ -19y = 7 + 12 ]
[ -19y = 19 ]
[ y = -1 ]
Шаг 6. Найдём (x):
[ x = -6 - 7(-1) = -6 + 7 = 1 ]
Ответ:
[ x=1, \quad y=-1 ]
Задача 4. Решение по условию о движении катера
Дано:
- Катер за 3 часа по течению и за 5 часов против течения проходит 92 км.
- За 5 часов по течению катер проходит на 10 км больше, чем за 6 часов против течения.
Обозначим:
- скорость катера — (v) (собственная скорость),
- скорость течения — (w).
Тогда:
- по течению катер движется со скоростью (v + w),
- против течения — со скоростью (v - w).
Запишем уравнения:
За 3 часа по течению:
[ 3(v + w) ] — пройденное расстояние.
За 5 часов против течения:
[ 5(v - w) ] — пройденное расстояние.
Общий пробег — 92 км:
[ 3(v + w) + 5(v - w) = 92 ]
Также известно, что за 5 часов по течению катер проходит на 10 км больше, чем за 6 часов против течения:
[ 5(v + w) = 6(v - w) + 10 ]
Решим систему двух уравнений:
[
\begin{cases}
3(v + w) + 5(v - w) = 92 \
5(v + w) = 6(v - w) + 10
\end{cases}
]
Уравнение 1:
Раскроем скобки:
[ 3v + 3w + 5v - 5w = 92 ]
Объединим подобные:
[ (3v + 5v) + (3w - 5w) = 92 ]
[ 8v - 2w = 92 ]
Поделим всё на 2 для удобства:
[ 4v - w = 46 \quad \text{(Уравнение А)} ]
Уравнение 2:
[ 5v + 5w = 6v - 6w + 10 ]
Перенесем все в одну сторону:
[ 5v + 5w - 6v + 6w = 10 ]
Объединим:
[ (5v - 6v) + (5w + 6w) = 10 ]
[ -v + 11w = 10 ]
Это уравнение №2.
Решение системы:
[
\begin{cases}
4v - w = 46 \quad (А) \
-v + 11w = 10 \quad (Б)
\end{cases}
]
Шаг 1. Выразим (v) из уравнения (А):
[ 4v = 46 + w ]
[ v = \frac{46 + w}{4} ]
Шаг 2. Подставим (v) в уравнение (Б):
[ - \frac{46 + w}{4} + 11w = 10 ]
Шаг 3. Упростим уравнение:
[ - \frac{46 + w}{4} + 11w = 10 ]
Обозначим все через у:
[ - \frac{46 + w}{4} + 11w = 10 ]
Умножим всё на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
[ -(46 + w) + 44w = 40 ]
Раскроем скобки:
[ -46 - w + 44w = 40 ]
Объединим:
[ -46 + 43w = 40 ]
Шаг 4. Решаем относительно (w):
[ 43w = 86 ]
[ w = 2 ]
Шаг 5. Найдём (v):
[ v = \frac{46 + 2}{4} = \frac{48}{4} = 12 ]
Ответ:
- Собственная скорость катера (v = 12 \text{ км/ч}),
- Скорость течения (w = 2 \text{ км/ч}).
Задача 4.3. График линейной функции по точкам А и В
Дано:
(A(4;2)),
(B(-4;0)).
Найти функцию (y = kx + b).
Шаг 1. Вычислим наклон (k):
[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 2}{-4 - 4} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}
]
Шаг 2. Найдём (b) (свободный член), подставив координаты одной из точек, например, (A(4;2)):
[
2 = \frac{1}{4} \times 4 + b
]
[
2 = 1 + b
]
[
b = 1
]
Ответ:
Функция:
[
\boxed{ y = \frac{1}{4}x + 1 }
]
Если потребуется более подробно разобрать любой из этих пунктов — сообщите!
