Давайте решим уравнение (x^2 + x + 3 = 0) в множесте комплексных чисел. Поскольку это квадратное уравнение, можно воспользоваться формулой в общем виде или методами дополнения квадрата, но наиболее универсальный способ — использовать дискриминант и формулу корней.
Шаг 1: Запишем уравнение:
[ x^2 + x + 3 = 0 ]
Шаг 2: Найдём дискриминант (D):
Дискриминант вычисляется по формуле:
[ D = b^2 - 4ac ]
где (a = 1), (b = 1), (c = 3). Подставим:
[ D = (1)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 1 - 12 = -11 ]
Шаг 3: Анализируем дискриминант:
Так как (D = -11 < 0), корни уравнения будут комплексными и комплексно-сопряжёнными.
Шаг 4: Находим корни по формуле:
Корни выражаются так:
[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]
Учтём, что (\sqrt{D} = \sqrt{-11}). В комплексных числах
[ \sqrt{-11} = i \sqrt{11} ]
где (i) — мнимая единица, (i^2 = -1).
Подставим:
[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm i \sqrt{11}}{2} ]
Итак, ответ:
[
\boxed{
x_{1,2} = \frac{-1 + i \sqrt{11}}{2} \quad \text{и} \quad x_{2} = \frac{-1 - i \sqrt{11}}{2}
}
]
Это и есть два комплексных корня уравнения. Если нужно, я могу дать объяснение каждого шага подробнее.
