Какие из квадратных трехчленов можно разложить на множители? A) x2+8x+16 B) x2−2x−9 C) x2+2x+8 D) x2+6x+3 E) x2−3x+7 F) x2−8x+1
Давайте разберем каждый из указанных квадратных трехчленов и определим, можно ли их разложить на множители (то есть найти их факторизацию в виде произведения двух линейных множителей).
Для этого воспользуемся методом разложения квадратичных выражений через дискриминант или формулой корней. Если дискриминант дополнительного уравнения положителен и дает целочисленные или рациональные корни, то трехчлен разлагается на множители.
Общий вид квадратного трехчлена:
ax² + bx + c
В данном случае, коэффициент a равен 1 у всех выражений.
Формула дискриминанта:
D = b² − 4ac
Если D — полное квадратичное число и √D — рационально, то выражение можно разложить.
Пошагово:
A) x² + 8x + 16
- b = 8, c = 16
- D = 8² − 4·1·16 = 64 − 64 = 0
Дискриминант равен 0, значит есть один корень (дважды):
x = –b / 2a = –8 / 2 = –4
Факторизация:
x² + 8x + 16 = (x + 4)²
Можно разложить.
B) x² − 2x − 9
- b = –2, c = –9
- D = (–2)² − 4·1·(–9) = 4 + 36 = 40
√D = √40 ≈ 6.324…, не рационально — корни не рациональные, но можем найти точные:
Корни:
x = [–b ± √D] / 2a = [2 ± √40] / 2
√40 = 2√10, то есть:
x = [2 ± 2√10] / 2 = 1 ± √10
Рациональные корни отсутствуют, но выражение можно разложить в виде:
(x – (1 + √10))(x – (1 – √10)), однако это иррациональные корни, и в стандартной факторизации они не делятся на линейные множители с рациональными коэффициентами.
Можно разложить, если использовать иррациональные корни.
C) x² + 2x + 8
- D = 2² − 4·1·8 = 4 – 32 = –28
Отрицательный дискриминант — корней нет в действительных числах.
Разложить на множители с действительными коэффициентами — нельзя.
D) x² + 6x + 3
- D = 6² − 4·1·3 = 36 – 12 = 24
√D = √24 = 2√6, нерационально. Тогда корни:
x = (–6 ± 2√6) / 2 = –3 ± √6
Рациональных корней нет, разложение в иррациональных корнях возможно, но для стандартных целей — нельщя.
В действительных рациональных множителях — нельзя.
E) x² – 3x + 7
- D = (–3)² − 4·7 = 9 – 28 = –19
Отрицательный дискриминант — разложить нельзя в действительных числе.
Разложить нельзя.
F) x² – 8x + 1
- D = (–8)² – 4·1·1 = 64 – 4 = 60
√D = √60 ≈ 7.746, иррационально.
Корни:
x = (8 ± √60) / 2 = 4 ± √15
Без рациональных корней, разложение с рациональными множителями невозможно.
Итог:
Можно точно разложить на множители:
- A) x² + 8x + 16 — да, потому что дискриминант равен нулю, и выражение — квадрат двучлена.
Вывод:
A) — разлагается на множители.
Если нужна более глубокая детализация или решение в комплексных числах, скажите!
