Давайте решим задачу пошагово.
Задача:
На дороге стоят старые деревянные столбы через каждые 30 м. Их заменили на железобетонные, которые ставят через каждые 50 м, начиная с того же места, где был первый старый столб. Нужно определить, через какое минимальное расстояние от первого старого столба будет стоять новый железобетонный столб в том же месте, где стоял старый.
Шаг 1: Определение условий
- Первый старый столб — в начале отсчёта, его позиция — 0 м.
- Деревянные столбы устанавливались через каждые 30 м: 0, 30, 60, 90, 120, ... м.
- Новые железобетонные столбы начинают у той же точки (0 м) и ставятся через каждые 50 м: 0, 50, 100, 150, 200, ... м.
Шаг 2: Формулы для позиций столбов
- Позиции старых деревянных: 30k, где k — целое неотрицательное число (k=0,1,2,...).
- Позиции новых железобетонных: 50m, m — целое неотрицательное число (m=0,1,2,...).
Шаг 3: Ищем совпадения
Нам нужно найти такое число, которое одновременно кратно 30 и 50, поскольку в одном и том же месте стоят и старый, и новый столб.
Иными словами, найти минимальное положительное число, которое делится и на 30, и на 50.
Это — наименьшее общее кратное (НОК) чисел 30 и 50.
Шаг 4: Находим НОК(30, 50)
Разложение на простые множители:
- 30 = 2 × 3 × 5
- 50 = 2 × 5²
Определяем НОК: берем все простые множители с максимально возможной степенью из разложений:
- 2 — присутствует в обоих, берем 2.
- 3 — только у 30, берем 3.
- 5 — MAX из 5¹ и 5² — берем 5².
Рассчитываем НОК:
НОК = 2 × 3 × 5² = 2 × 3 × 25 = 150.
Шаг 5: Ответ
Минимальное расстояние, при котором новый железобетонный столб окажется в том же месте, где стоял старый, равно 150 м.
Итог:
Ближайший к исходной точке (0 м) столб, поставленный в то же место, где стоял деревянный, будет через 150 метров.
