Найдите площадь трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны и равны 7 и 10.

Давайте обозначим стороны трапеции следующим образом:

• Базы: \( a \) и \( b \),
• Высота: \( h \),
• Диагонали: \( d_1 = 7 \) и \( d_2 = 10 \),
• Диагонали взаимно перпендикулярны.

В условии говорится, что диагонали равны и перпендикулярны, однако есть противоречие: в условии указано, что диагонали равны 7 и 10. Предположим, что имеется в виду, что одна диагональ равна 7, а другая — 10, и они взаимно перпендикулярны.

Шаг 1. Воспользуемся свойствами диагоналей в трапеции

В трапеции диагонали пересекаются в одной точке, и у нас есть формула для диагоналей в общем случае. Но, если диагонали перпенекулярны, то трапеция — это частный случай трапеции с перпендикулярными диагоналями, которая является тоже параллелограммом, разумеется, только в другом контексте.

Шаг 2. Используем свойства перпендикулярных диагоналей

Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей.

Пусть \( AC \) и \( BD \) — диагонали трапеции, \( AC = d_1 = 7 \), \( BD = d_2 = 10 \).

Так как диагонали взаимно перпендикулярны:

\[ AC \perp BD \] и

\[ AO \times OC = \frac{d_1^2}{4} \quad \text{(часть, связанная с делением диагоналей)}, \] но это более применимо к ромбам, чем к трапециям.

Попробуем другой подход — использовать координатную геометрию.

Шаг 3. Построение модели

Обозначим базовые точки так:

• Базу \( AB \) возьмем на оси \( x \) от \( A(0,0) \) до \( B(b,0) \), \( b \) — длина меньшей базы.

Пусть вершина \( D \) расположена в точке \( (x_D, h) \), а вершина \( C \) — \( (x_C, h) \).

Так как трапеция, то \( A(0,0) \) и \( B(b,0) \).

Параллельность баз и перпендикулярность диагоналей дадут систему.

Пусть:

• \( D = (x_D, y_D) \),
• \( C = (x_C, y_C) \).

Диагонали \( AC \) и \( BD \) — линии между соответствующими концами.

Значит,

\[ AC:\quad A(0,0) \to C(x_C, y_C), \] \[ BD:\quad B(b,0) \to D(x_D, y_D). \]

Из условия, что диагонали перпендикулярны:

\[ AC \perp BD \implies \text{sкат}(AC) \cdot \text{sкат}(BD) = -1, \] или, более просто — скалярное произведение векторов равно нулю:

\[ \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0. \]

Расчёт:

\[ \vec{AC} = (x_C, y_C), \] \[ \vec{BD} = (x_D - b, y_D). \]

Тогда

\[ x_C(x_D - b) + y_C y_D = 0. \]

Также известны длины диагоналей:

\[ |AC| = \sqrt{x_C^2 + y_C^2} = 7, \] \[ |BD| = \sqrt{(x_D - b)^2 + y_D^2} = 10. \]

Поскольку основание \( AB \) — на оси \( x \), то чтобы трапеция имела основание, параллельное \( AB \), а боковые стороны наклонены, выбираем, что \( C \) и \( D \) расположены так, что \( C \) — на той же горизонтальной линии, что и \( D \). Но чтобы сделать задачу более управляемой, сделаем еще одно допущение: \( C \) и \( D \) расположены по одной горизонтали (так как трапеция). Тогда:

\[ y_C = y_D = h, \] и \( C = (x_C, h) \), \( D = (x_D, h) \).

Это обоснованно, так как тогда основание \( CD \) — параллельно базе \( AB \), и высота \( h \) — постоянное.

Теперь:

\[ |AC|^2 = x_C^2 + h^2 = 49, \] \[ |BD|^2 = (x_D - b)^2 + h^2 = 100. \]

Скалярное произведение:

\[ \vec{AC} \cdot \vec{BD} = x_C (x_D - b) + h^2 = 0, \] но \( h^2 = 49 - x_C^2 \), итого:

\[ x_C (x_D - b) + (49 - x_C^2) = 0, \] или

\[ x_C x_D - b x_C + 49 - x_C^2 = 0. \]

Также, из прямых уравнений:

\[ x_C^2 + h^2 = 49, \] \[ (x_D - b)^2 + h^2= 100. \]

Вычитая второе из первого:

\[ x_C^2 - (x_D - b)^2 = -51. \]

Раскроем скобки:

\[ x_C^2 - (x_D^2 - 2b x_D + b^2) = -51, \] \[ x_C^2 - x_D^2 + 2b x_D - b^2 = -51. \]

Также из предыдущего выражения:

\[ x_C x_D - b x_C + 49 - x_C^2 =0, \] или

\[ x_C x_D - b x_C = x_C^2 - 49. \]

Будем искать связи между \( x_C \) и \( x_D \).

Обозначим \( x_C = X \), \( x_D = Y \).

Тогда:

\[ X Y - b X = X^2 - 49, \] и из второго уравнения:

\[ X^2 - Y^2 + 2b Y - b^2= -51. \]

Перепишем первое:

\[ X (Y - b) = X^2 - 49, \] или

\[ Y - b = \frac{X^2 - 49}{X}. \]

Подставим в другое уравнение:

\[ X^2 - Y^2 + 2b Y - b^2= -51. \]

Выразим \( Y \) из первого уравнения:

\[ Y= b + \frac{X^2 - 49}{X}. \]

Подставим в уравнение:

\[ X^2 - \left( b + \frac{X^2 - 49}{X} \right)^2 + 2b \left( b + \frac{X^2 - 49}{X} \right) - b^2= -51. \]

Пока выражение кажется очень громоздким, попробуем проще. Обратимся к более базовым свойствам.

---

Альтернативный подход:

Поскольку диагонали взаимно перпендикулярны и равны 7 и 10, и трапеция, предположим, что она является ортогональной трапецией с перпендикулярными диагоналями.

В этом случае диагонали делят трапецию на 4 треугольника, эти свойства позволяют найти площадь.

Известно:

• диагонали: \( d_1=7 \), \( d_2=10 \),
• диагонали — перпенктулрны,
• площадь трапеции может быть найдена через её диагонали и угол между ними:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \phi, \] где \( \phi \) — угол между диагоналями.

Поскольку диагонали взаимно перпендикулярны, \( \sin \phi = 1 \).

Дано, что диагонали перпендикулярны, значит:

\[ S = \frac{1}{2} \times 7 \times 10 = 35. \]

Ответ:

\[ \boxed{35} \]

Площадь трапеции равна 35.

---

Итог: Площадь трапеции с взаимно перпендикулярными диагоналями длиной 7 и 10 равна 35.