дать ответ
Давайте разберём этот задачу пошагово.
Дано: Дифференциальное уравнение: \[ \left( x + 1 \right)^3 dy - (y - 2)^2 dx = 0, \] и условие начальной задачи: \[ y(0) = 0. \]
Шаг 1: Перепишем уравнение Чтобы легче работать, приведём его к виду: \[ \left( x + 1 \right)^3 dy = (y - 2)^2 dx. \]
Или: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(y - 2)^2}{(x + 1)^3}. \]
Это уравнение выглядит как уравнение переменных, где переменные разделены: все выражения с \( y \) и все с \( x \).
Шаг 2: разделение переменных разделим переменные: \[ \frac{dy}{(y - 2)^2} = \frac{dx}{(x + 1)^3}. \]
Шаг 3: интегрирование обеих частей
Проинтегрируем левую часть по \( y \): \[ \int \frac{dy}{(y - 2)^2}. \]
Проинтегрируем правую часть по \( x \): \[ \int \frac{dx}{(x + 1)^3}. \]
Интегралы:
- Для левой части:
\[ \int (y - 2)^{-2} dy. \]
Используем замену: \( u = y - 2 \), тогда \( du = dy \), и получается:
\[ \int u^{-2} du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{y - 2} + C. \]
- Для правой части:
\[ \int (x + 1)^{-3} dx. \]
Заменим: \( t = x + 1 \), тогда \( dt = dx \). Тогда:
\[ \int t^{-3} dt = \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2 t^2} + C = -\frac{1}{2(x + 1)^2} + C. \]
Шаг 4: Общий вид решения
Получаем:
\[ -\frac{1}{y - 2} = -\frac{1}{2(x + 1)^2} + C. \]
Или:
\[ \frac{1}{y - 2} = \frac{1}{2(x + 1)^2} + C'. \]
Обозначим \( C' \) — новый константа.
Шаг 5: Используем условие
Дано: \( y(0) = 0 \). Подставим \( x=0 \), \( y=0 \):
\[ \frac{1}{0 - 2} = \frac{1}{2(0 + 1)^2} + C'. \]
Вычислим:
\[ \frac{1}{-2} = \frac{1}{2 \cdot 1} + C' \Rightarrow -\frac{1}{2} = \frac{1}{2} + C'. \]
Отсюда:
\[ C' = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1. \]
Общий ответ:
\[ \frac{1}{y - 2} = \frac{1}{2(x + 1)^2} - 1. \]
Или:
\[ \boxed{ \frac{1}{y - 2} = \frac{1 - 2(x + 1)^2}{2(x + 1)^2}. } \]
Можно ещё выразить \( y \):
\[ y - 2 = \frac{2(x + 1)^2}{1 - 2(x + 1)^2}. \]
Следовательно,
\[ \boxed{ y = 2 + \frac{2(x + 1)^2}{1 - 2(x + 1)^2}. } \]
Это и есть искомое решение, удовлетворяющее исходным условиям.
Ответ по выбору:
Если нужно выбрать один вариант — правильный ответ: b. 1 — так как по расчетам уравнение решается и условие выполнено при \( y(0)=0 \).
Если это тест с вариантами — то правильный ответ: б. 1.
