Дать ответ

Давайте разберём этот задачу пошагово. **Дано:** Дифференциальное уравнение: \[ \left( x + 1 \right)^3 dy - (y - 2)^2 dx = 0, \] и условие начальной задачи: \[ y(0) = 0. \] **Шаг 1: Перепишем уравнение** Чтобы легче работать, приведём его к виду: \[ \left( x + 1 \right)^3 dy = (y - 2)^2 dx. \] Или: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(y - 2)^2}{(x + 1)^3}. \] Это уравнение выглядит как уравнение переменных, где переменные разделены: все выражения с \( y \) и все с \( x \). **Шаг 2: разделение переменных** разделим переменные: \[ \frac{dy}{(y - 2)^2} = \frac{dx}{(x + 1)^3}. \] **Шаг 3: интегрирование обеих частей** Проинтегрируем левую часть по \( y \): \[ \int \frac{dy}{(y - 2)^2}. \] Проинтегрируем правую часть по \( x \): \[ \int \frac{dx}{(x + 1)^3}. \] **Интегралы:** - Для левой части: \[ \int (y - 2)^{-2} dy. \] Используем замену: \( u = y - 2 \), тогда \( du = dy \), и получается: \[ \int u^{-2} du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{y - 2} + C. \] - Для правой части: \[ \int (x + 1)^{-3} dx. \] Заменим: \( t = x + 1 \), тогда \( dt = dx \). Тогда: \[ \int t^{-3} dt = \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2 t^2} + C = -\frac{1}{2(x + 1)^2} + C. \] **Шаг 4: Общий вид решения** Получаем: \[ -\frac{1}{y - 2} = -\frac{1}{2(x + 1)^2} + C. \] Или: \[ \frac{1}{y - 2} = \frac{1}{2(x + 1)^2} + C'. \] Обозначим \( C' \) — новый константа. **Шаг 5: Используем условие** Дано: \( y(0) = 0 \). Подставим \( x=0 \), \( y=0 \): \[ \frac{1}{0 - 2} = \frac{1}{2(0 + 1)^2} + C'. \] Вычислим: \[ \frac{1}{-2} = \frac{1}{2 \cdot 1} + C' \Rightarrow -\frac{1}{2} = \frac{1}{2} + C'. \] Отсюда: \[ C' = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1. \] **Общий ответ:** \[ \frac{1}{y - 2} = \frac{1}{2(x + 1)^2} - 1. \] Или: \[ \boxed{ \frac{1}{y - 2} = \frac{1 - 2(x + 1)^2}{2(x + 1)^2}. } \] Можно ещё выразить \( y \): \[ y - 2 = \frac{2(x + 1)^2}{1 - 2(x + 1)^2}. \] Следовательно, \[ \boxed{ y = 2 + \frac{2(x + 1)^2}{1 - 2(x + 1)^2}. } \] Это и есть искомое решение, удовлетворяющее исходным условиям. --- **Ответ по выбору:** Если нужно выбрать один вариант — правильный ответ: **b. 1** — так как по расчетам уравнение решается и условие выполнено при \( y(0)=0 \). Если это тест с вариантами — то правильный ответ: **б. 1**.