Данная задача — это задача на нахождение общего вида решения линейного дифференциального уравнения второго порядка:
[ y'' + 3 y' = 0 ]
Давайте решим ее пошагово.
Шаг 1. Запишем характеристическое уравнение
Для уравнения вида ( y'' + a y' + b y = 0 ), характеристическое уравнение получается путём замены ( y = e^{kx} ):
[ k^2 + a k + b = 0 ]
В нашем случае:
[ k^2 + 3k = 0 ]
Шаг 2. Решим характеристическое уравнение
[ k^2 + 3k = 0 ]
Факторизуем:
[ k(k + 3) = 0 ]
Значит:
[ k_1 = 0 ]
[ k_2 = -3 ]
Шаг 3. Запишем общее решение
Общее решение дифференциального уравнения — линейная комбинация решений вида ( e^{k_1 x} ) и ( e^{k_2 x} ):
[ y(x) = C_1 e^{0 \cdot x} + C_2 e^{-3x} ]
Упростим:
[ y(x) = C_1 + C_2 e^{-3x} ]
Шаг 4. Определим производные для поиска вида решения
Общее решение в виде функции, содержащей произвольные константы ( C_1, C_2 ), соответствует ответу б):
[ y = C_1 + C_2 e^{-3x} ]
Ответ: б) ( y = C_1 + C_2 e^{-3x} ).
Если сравнить с предложенными вариантами, то правильный вариант — б).
