дать ответ

Данная задача — это задача на нахождение общего вида решения линейного дифференциального уравнения второго порядка:

\[ y'' + 3 y' = 0 \]

Давайте решим ее пошагово.

Шаг 1. Запишем характеристическое уравнение

Для уравнения вида \( y'' + a y' + b y = 0 \), характеристическое уравнение получается путём замены \( y = e^{kx} \):

\[ k^2 + a k + b = 0 \]

В нашем случае:

\[ k^2 + 3k = 0 \]

Шаг 2. Решим характеристическое уравнение

\[ k^2 + 3k = 0 \]

Факторизуем:

\[ k(k + 3) = 0 \]

Значит:

\[ k_1 = 0 \] \[ k_2 = -3 \]

Шаг 3. Запишем общее решение

Общее решение дифференциального уравнения — линейная комбинация решений вида \( e^{k_1 x} \) и \( e^{k_2 x} \):

\[ y(x) = C_1 e^{0 \cdot x} + C_2 e^{-3x} \]

Упростим:

\[ y(x) = C_1 + C_2 e^{-3x} \]

Шаг 4. Определим производные для поиска вида решения

Общее решение в виде функции, содержащей произвольные константы \( C_1, C_2 \), соответствует ответу б):

\[ y = C_1 + C_2 e^{-3x} \]

Ответ: б) \( y = C_1 + C_2 e^{-3x} \).

Если сравнить с предложенными вариантами, то правильный вариант — б).