дать ответ

Давайте разберем задачу.

Нам дан не определенный интеграл: \[ \int \operatorname{arcsin} x \, dx \]

и нужно найти его решение.

Ответы даны в виде нескольких вариантов, попробуем определить правильный.

Общий метод интегрирования функции \( \operatorname{arcsin} x \)

Для вычисления интеграла \( \int \operatorname{arcsin} x \, dx \), можно воспользоваться методом интегрирования по частям: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Здесь выберем:

• \( u = \operatorname{arcsin} x \), тогда \( du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx \)
• \( dv = dx \), тогда \( v = x \)

Подставим в формулу: \[ \int \operatorname{arcsin} x \, dx = x \operatorname{arcsin} x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx \]

Теперь осталось найти \[ I = \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx \]

Решение интеграла \( I \):

Обратим внимание, что \[ \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{1 - x^2})^2 \] или более просто, сделаем замену: \[ t = 1 - x^2 \Rightarrow dt = -2x dx \] тогда \[ x dx = -\frac{dt}{2} \]

Подставим: \[ I = \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = - \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = - \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt \]

Значит: \[ I = - \frac{1}{2} \cdot 2 t^{1/2} + C = - \sqrt{t} + C \]

Вернемся к исходной переменной: \[ t = 1 - x^2 \] поэтому: \[ I = - \sqrt{1 - x^2} + C \]

Итог:

Подставляя обратно: \[ \int \operatorname{arcsin} x dx = x \operatorname{arcsin} x - (- \sqrt{1 - x^2}) + C = x \operatorname{arcsin} x + \sqrt{1 - x^2} + C \]

Вывод:

Общий вид интеграла: \[ \int \operatorname{arcsin} x \, dx = x \operatorname{arcsin} x + \sqrt{1 - x^2} + C \]

Теперь, вернемся к вариантам ответа.

Когда мы сравним полученное выражение с предложенными вариантами, видим, что:

Правильный ответ — это вариант (d):

\[ \boxed{ \arcsin x^2 + \sqrt{1 - x^4} + c } \]

Однако, в наших вычислениях — это немного отличается.

Обратите внимание, что в варианте (a) — \(\arcsin^2 x + \ln \sqrt{1 - x^2} + c\), это не совпадает.

На самом деле, правильная форма — это:

\[ x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + c \]

Но этого варианта в предложенных ответах нет. Возможно, в условии есть опечатка или вариантов.

Итог: самый близкий по форме ответ — это:

Ответ d. \[ \arcsin x^2 + \sqrt{1 - x^4} + c \]

но он отличается от вычисленного.

Итоговое решение:

Ответ: d.