Дать ответ

Давайте разберем задачу. Нам дан не определенный интеграл: \[ \int \operatorname{arcsin} x \, dx \] и нужно найти его решение. Ответы даны в виде нескольких вариантов, попробуем определить правильный. --- ### Общий метод интегрирования функции \( \operatorname{arcsin} x \) Для вычисления интеграла \( \int \operatorname{arcsin} x \, dx \), можно воспользоваться методом интегрирования по частям: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Здесь выберем: - \( u = \operatorname{arcsin} x \), тогда \( du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx \) - \( dv = dx \), тогда \( v = x \) Подставим в формулу: \[ \int \operatorname{arcsin} x \, dx = x \operatorname{arcsin} x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx \] Теперь осталось найти \[ I = \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx \] ### Решение интеграла \( I \): Обратим внимание, что \[ \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{1 - x^2})^2 \] или более просто, сделаем замену: \[ t = 1 - x^2 \Rightarrow dt = -2x dx \] тогда \[ x dx = -\frac{dt}{2} \] Подставим: \[ I = \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = - \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = - \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt \] Значит: \[ I = - \frac{1}{2} \cdot 2 t^{1/2} + C = - \sqrt{t} + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ t = 1 - x^2 \] поэтому: \[ I = - \sqrt{1 - x^2} + C \] ### Итог: Подставляя обратно: \[ \int \operatorname{arcsin} x dx = x \operatorname{arcsin} x - (- \sqrt{1 - x^2}) + C = x \operatorname{arcsin} x + \sqrt{1 - x^2} + C \] ### Вывод: Общий вид интеграла: \[ \int \operatorname{arcsin} x \, dx = x \operatorname{arcsin} x + \sqrt{1 - x^2} + C \] --- ### Теперь, вернемся к вариантам ответа. Когда мы сравним полученное выражение с предложенными вариантами, видим, что: **Правильный ответ — это вариант (d):** \[ \boxed{ \arcsin x^2 + \sqrt{1 - x^4} + c } \] Однако, в наших вычислениях — это немного отличается. Обратите внимание, что в варианте (a) — \(\arcsin^2 x + \ln \sqrt{1 - x^2} + c\), это не совпадает. --- На самом деле, правильная форма — это: \[ x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + c \] Но этого варианта в предложенных ответах нет. Возможно, в условии есть опечатка или вариантов. --- ### Итог: самый близкий по форме ответ — это: **Ответ d.** \[ \arcsin x^2 + \sqrt{1 - x^4} + c \] но он отличается от вычисленного. --- ### Итоговое решение: **Ответ: d.**