дать ответ

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Задача: определить значение параметра (какое из предложенных), при котором решение дифференциального уравнения \[ (x + 1)^3 dy - (y - 2)^2 dx = 0 \] удовлетворяет условию \( y(0) = 0 \).

Шаг 1. Переписываем уравнение

Запишем уравнение так, чтобы отделить переменные: \[ (x + 1)^3 dy = (y - 2)^2 dx \] или \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(y - 2)^2}{(x + 1)^3} \]

Шаг 2. Сделаем замену переменных

Обратим внимание:

• В numerator: \( (y - 2)^2 \), что указывает на то, что удобно ввести \( z = y - 2 \).

Тогда: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{z^2}{(x + 1)^3} \] и \[ dy/dx = dz/dx \] (так как \( y = z + 2 \), дифференцировать по \( x \) не изменяет знак).

Следовательно, \[ \frac{dz}{dx} = \frac{z^2}{(x + 1)^3} \] или \[ \frac{dz}{z^2} = \frac{dx}{(x + 1)^3} \]

Шаг 3. Интегрируем обе части

Интегрируем левую часть по \( z \): \[ \int \frac{dz}{z^2} = \int \frac{dx}{(x + 1)^3} \]

Левый интеграл: \[ \int z^{-2} dz = -z^{-1} + C_1 \] или \[ -\frac{1}{z} \]

Правый интеграл: \[ \int \frac{dx}{(x + 1)^3} \] используем замену \( t = x + 1 \).

Тогда: \[ \int \frac{dx}{t^3} = \int \frac{dt}{t^3} \]

Этот интеграл: \[ \int t^{-3} dt = \frac{t^{-2}}{-2} + C_2 = -\frac{1}{2 t^2} + C_2 \]

Вернулись к \( x \): \[ -\frac{1}{2 (x + 1)^2} + C \]

Шаг 4. Запишем общее решение

Объединяя результаты: \[ -\frac{1}{z} = -\frac{1}{2 (x + 1)^2} + C \] или \[ \frac{1}{z} = \frac{1}{2 (x + 1)^2} - C \] где \(z = y - 2\).

В итоге \[ z = y - 2 = \frac{1}{\frac{1}{2 (x + 1)^2} - C} \]

Шаг 5. Используем граничное условие \( y(0) = 0 \)

Когда \( x=0 \): \[ y(0) = 0 \Rightarrow z(0) = y(0) - 2 = -2 \] подставим \( x=0 \): \[ z(0) = -2 = \frac{1}{\frac{1}{2 (1)^2} - C} = \frac{1}{\frac{1}{2} - C} \]

Обратимся: \[ -2 = \frac{1}{\frac{1}{2} - C} \] или \[ \frac{1}{2} - C = - \frac{1}{2} \] следовательно \[ \frac{1}{2} - C = - \frac{1}{2} \] отсюда \[ C = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]

Итог:

Значение \( C \) равно 1. Тогда полное решение: \[ z = y - 2 = \frac{1}{\frac{1}{2 (x + 1)^2} - 1} \]

Итоговая проверка:

Для \( C=1 \), мы получаем решение, удовлетворяющее условию \( y(0) = 0 \).

Из приведенных вариантов правильный ответ: b. 2

Ответ: б. 2