Дать ответ

Рассмотрим данное дифференциальное уравнение: \[ y'' - 6 y' + 9 y = 0 \] Это — линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения используем характеристическое уравнение. **Шаг 1: Записать характеристическое уравнение** Для уравнения вида \( y'' + a y' + b y = 0 \), характеристическое уравнение выглядит так: \[ r^2 + a r + b = 0 \] В нашем случае: \[ r^2 - 6 r + 9 = 0 \] **Шаг 2: Решить характеристическое уравнение** Решим квадратичное уравнение: \[ r^2 - 6 r + 9 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0 \] Поскольку дискриминант равен нулю, у уравнения один кратный корень: \[ r = \frac{6}{2} = 3 \] То есть, решение характеристического уравнения: \[ r = 3 \text{ кратный корень} \] **Шаг 3: Записать общее решение** Для кратного корня \( r = 3 \), общее решение дифференциального уравнения имеет вид: \[ y(t) = (C_1 + C_2 t) e^{r t} \] Подставляя \( r = 3 \): \[ y(t) = (C_1 + C_2 t) e^{3 t} \] **Шаг 4: Определить ответ из вариантов** Рассмотрим предложенные ответы: - **a)** \( c_1 e^{t} + c_2 e^{3 t} \) — не подходит, так как корень не 1 и 3. - **b)** \( e^{x} (c_1 \cos x + c_2 \sin x) \) — решения с комплексными корнями, а у нас кратный реальный корень, не подходит. - **c)** \( e^{x} (c_1 + c_2 x) \) — по форме подходит, только переменная у нас \( t \), а ответ — \( x \), но это несущественно, так как переменные можно заменить. - **d)** \( c_1 e^{3 t} + c_2 e^{3 t} \) — это неправильно, так как без умножения на \( t \) при кратном корне. **Итог:** Общее решение: \[ y(t) = (C_1 + C_2 t) e^{3 t} \] Это соответствует варианту **c)** (при заменении переменной \( x \) на \( t \)). **Ответ:** **в) \( e^{t} (c_1 \cos x + c_2 \sin x) \)** — неверно, так как решение с комплексными корнями не подходит. Верный вариант — это выражение вида \( (C_1 + C_2 t) e^{3 t} \). ### Итоговая правильная интерпретация: На основе приведённого варианта, правильный ответ — **c)**, так как он наиболее похож по форме, несмотря на отличия в переменной и конкретном виде решения. --- Если потребуется точное указание, то решение — \((C_1 + C_2 t) e^{3 t}\).