Дать ответ

Рассмотрим задачу, на изображении изображена функция \( y = \cos x \) и график её определённой части на промежутке от \( x = 0 \) до \( x = \frac{3\pi}{2} \). Требуется выбрать правильный ответ, связанный с вычислением площади фигуры, ограниченной графиком функции и осями. Дано: * График функции \( y = \cos x \) на промежутке от \( 0 \) до \( \frac{3\pi}{2} \). * Надписи под рисунком: "Площадь фигуры, изображенной на рисунке, определяется интегралом". Рассмотрим варианты ответов и вопросы, которые связаны с площадью. --- ### Что нужно сделать? Определить площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = \cos x \), осями координат и линией \( x = \frac{3\pi}{2} \). --- ### Как найти площадь? Это стандартная задача по интегралу: площадь — это определённый интеграл функции по заданному интервалу. Площадь под графиком функции \( y = \cos x \) на промежутке от \( a \) до \( b \) даётся формулой: \[ S = \int_a^b |\cos x|\, dx \] Поскольку \( \cos x \) меняет знак на промежутке от \( 0 \) до \( \frac{3\pi}{2} \), нужно разбить интеграл на части, где \( \cos x \) положительно и отрицательно. --- ### Определим знаки \( \cos x \): - \( \cos x \ge 0 \) на промежутке \( [0, \frac{\pi}{2}] \), - \( \cos x \le 0 \) на промежутке \( [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \). Следовательно, площадь: \[ S = \int_0^{\pi/2} \cos x\, dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} |\cos x|\, dx \] На втором промежутке, потому что \( \cos x \le 0 \), мы берём отрицательное значение: \[ S = \int_0^{\pi/2} \cos x\, dx - \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos x\, dx \] или, эквивалентно: \[ S = \int_0^{\pi/2} \cos x\, dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos x)\, dx \] --- ### Вычислим интегралы: \[ \int \cos x\, dx = \sin x + C \] Следовательно, \[ S = [\sin x]_0^{\pi/2} + [-\sin x]_{\pi/2}^{3\pi/2} \] Посчитаем: \[ S = (\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0) + ( - \sin \frac{3\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2} ) \] \[ S = (1 - 0) + ( - (-1) + 1 ) = 1 + (1 + 1) = 1 + 2 = 3 \] --- ### Итог: **Площадь фигуры равна 3.** --- Если выбрать из вариантов ответов, то правильный — это вариант, где площадь равна 3.