дать ответ
Рассмотрим задачу, на изображении изображена функция \( y = \cos x \) и график её определённой части на промежутке от \( x = 0 \) до \( x = \frac{3\pi}{2} \). Требуется выбрать правильный ответ, связанный с вычислением площади фигуры, ограниченной графиком функции и осями.
Дано:
- График функции \( y = \cos x \) на промежутке от \( 0 \) до \( \frac{3\pi}{2} \).
- Надписи под рисунком: "Площадь фигуры, изображенной на рисунке, определяется интегралом".
Рассмотрим варианты ответов и вопросы, которые связаны с площадью.
Что нужно сделать?
Определить площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = \cos x \), осями координат и линией \( x = \frac{3\pi}{2} \).
Как найти площадь?
Это стандартная задача по интегралу: площадь — это определённый интеграл функции по заданному интервалу.
Площадь под графиком функции \( y = \cos x \) на промежутке от \( a \) до \( b \) даётся формулой:
\[ S = \int_a^b |\cos x|\, dx \]
Поскольку \( \cos x \) меняет знак на промежутке от \( 0 \) до \( \frac{3\pi}{2} \), нужно разбить интеграл на части, где \( \cos x \) положительно и отрицательно.
Определим знаки \( \cos x \):
- \( \cos x \ge 0 \) на промежутке \( [0, \frac{\pi}{2}] \),
- \( \cos x \le 0 \) на промежутке \( [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \).
Следовательно, площадь:
\[ S = \int_0^{\pi/2} \cos x\, dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} |\cos x|\, dx \]
На втором промежутке, потому что \( \cos x \le 0 \), мы берём отрицательное значение:
\[ S = \int_0^{\pi/2} \cos x\, dx - \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos x\, dx \]
или, эквивалентно:
\[ S = \int_0^{\pi/2} \cos x\, dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos x)\, dx \]
Вычислим интегралы:
\[ \int \cos x\, dx = \sin x + C \]
Следовательно,
\[ S = [\sin x]_0^{\pi/2} + [-\sin x]_{\pi/2}^{3\pi/2} \]
Посчитаем:
\[ S = (\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0) + ( - \sin \frac{3\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2} ) \] \[ S = (1 - 0) + ( - (-1) + 1 ) = 1 + (1 + 1) = 1 + 2 = 3 \]
Итог:
Площадь фигуры равна 3.
Если выбрать из вариантов ответов, то правильный — это вариант, где площадь равна 3.
