ctg((2πx−10π)/3) = корень из 3

Давайте решим уравнение: \[ \ctg\left(\frac{2\pi x - 10\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \]

Шаг 1. Напомню определения и свойства

• Котангенс (\(\ctg \alpha\)) — это отношение косинуса к синусу: \(\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\).
• Значения \(\ctg \alpha\) известны для некоторых углов: \[ \ctg \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}, \quad \ctg \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \ctg \frac{5\pi}{6} = -\sqrt{3} \]

Значит, чтобы \(\ctg \alpha = \sqrt{3}\), \[ \alpha = \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad \text{где }k \in \mathbb{Z} \] (так как котангенс — периодическая функция с периодом \(\pi\)).

Шаг 2. Запишем уравнение для \(\alpha\): \[ \frac{2\pi x - 10\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Шаг 3. Решим это уравнение относительно \(x\): \[ \frac{2\pi x - 10\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k\pi \]

Умножим обе части на 3: \[ 2\pi x - 10\pi = 3 \times \frac{\pi}{6} + 3k\pi \]

Запишем правую часть: \[ 3 \times \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \]

Итак: \[ 2\pi x - 10\pi = \frac{\pi}{2} + 3k\pi \]

Теперь решим относительно \(x\): \[ 2\pi x = 10\pi + \frac{\pi}{2} + 3k\pi \]

Объединим выражения: \[ 2\pi x = \left(10\pi + 3k\pi\right) + \frac{\pi}{2} \]

Вынесем \(\pi\): \[ 2\pi x = \pi (10 + 3k) + \frac{\pi}{2} \]

Делим обе части на \(2\pi\): \[ x = \frac{\pi (10 + 3k) + \frac{\pi}{2}}{2\pi} \]

Разделим по частям: \[ x = \frac{\pi (10 + 3k)}{2\pi} + \frac{\pi/2}{2\pi} \] \[ x = \frac{10 + 3k}{2} + \frac{1/2}{2} \] \[ x = \frac{10 + 3k}{2} + \frac{1}{4} \]

Итого: \[ \boxed{ x = \frac{10 + 3k}{2} + \frac{1}{4} } \]

или более компактно: \[ x = \frac{10 + 3k}{2} + \frac{1}{4} \] где \(k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \[ x = \frac{10 + 3k}{2} + \frac{1}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Это всё решение. Если нужно, я могу помочь проверить или пояснить подробнее.