Давайте рассмотрим задачу. Нужно доказать, что начиная с некоторого n (то есть для всех n, достаточно больших), выполнено неравенство:
[
(0{,}999)^n < 0{,}001
]
и решить это неравенство, не используя логарифмы, а используя неравенство Бернулли.
Шаг 1. Перепишем задачу
Нам нужно найти такое n, чтобы выполнялось:
[
(0{,}999)^n < 0{,}001
]
Это — неравенство вида степени числа, меньшее некоторого положительного числа.
Шаг 2. Воспользуемся неравенством Бернулли
Неравенство Бернулли чаще всего применяется к выражениям вида ((1 + x)^n), где (x) — это число, меньшее по модулю. Однако здесь у нас число в виде (a=0,999).
Обратим внимание: (0,999 = 1 - 0,001).
Поскольку (0,999 = 1 - 0,001), то:
[
(0,999)^n = (1 - 0,001)^n
]
Теперь применим неравенство Бернулли для (x = -0,001):
[
(1 + x)^n \geq 1 + nx
]
при (x \geq -1) и (n \geq 1).
То есть:
[
(1 - 0,001)^n \geq 1 - 0,001 n
]
для любого (n \geq 1).
Шаг 3. Используем полученное неравенство
Из неравенства Бернулли следует:
[
(0,999)^n = (1 - 0,001)^n \geq 1 - 0,001 n
]
Нам нужно, чтобы ((0,999)^n < 0,001). Тогда учитывая нижнюю границу, полученную по неравенству Бернулли, мы можем найти соответствующее n.
Пусть:
[
(1 - 0,001)^n < 0,001
]
и при этом ( (1 - 0,001)^n \geq 1 - 0,001 n ).
Если (1 - 0,001 n \leq 0,001), то:
[
1 - 0,001 n < 0,001
]
или
[
1 - 0,001 n < 0,001
]
вычтем 1 из обеих частей:
[
или
[
0,001 n > 0,999
]
отсюда получаем:
[
n > \frac{0,999}{0,001} = 999
]
Итог:
Если (n > 999), то по неравенству Бернулли:
[
(1 - 0,001)^n \geq 1 - 0,001 n
]
а при этом:
[
1 - 0,001 n < 0,001
]
значит, что:
[
(0,999)^n = (1 - 0,001)^n < 0,001
]
правда, это неравенство будет выполнено для всех (n \geq 1000).
Ответ:
Начиная с ( n \geq 1000 ), выполняется неравенство:
[
(0,999)^n < 0,001
]
т.е., при достаточно больших (n), степень числа (0,999) становится меньше (0,001).
Если есть дополнительные вопросы по задачам или требуется более глубокое объяснение — сообщайте!
