Докажем, что, начиная с некоторого n , будет выполнено неравенство 0,999 в степени n<0,001. Решить через неравенство Бернулли, без использования логорифма
Давайте рассмотрим задачу. Нужно доказать, что начиная с некоторого n (то есть для всех n, достаточно больших), выполнено неравенство:
\[ (0{,}999)^n < 0{,}001 \]
и решить это неравенство, не используя логарифмы, а используя неравенство Бернулли.
Шаг 1. Перепишем задачу
Нам нужно найти такое n, чтобы выполнялось:
\[ (0{,}999)^n < 0{,}001 \]
Это — неравенство вида степени числа, меньшее некоторого положительного числа.
Шаг 2. Воспользуемся неравенством Бернулли
Неравенство Бернулли чаще всего применяется к выражениям вида \((1 + x)^n\), где \(x\) — это число, меньшее по модулю. Однако здесь у нас число в виде \(a=0,999\).
Обратим внимание: \(0,999 = 1 - 0,001\).
Поскольку \(0,999 = 1 - 0,001\), то:
\[ (0,999)^n = (1 - 0,001)^n \]
Теперь применим неравенство Бернулли для \(x = -0,001\):
\[ (1 + x)^n \geq 1 + nx \]
при \(x \geq -1\) и \(n \geq 1\).
То есть:
\[ (1 - 0,001)^n \geq 1 - 0,001 n \]
для любого \(n \geq 1\).
Шаг 3. Используем полученное неравенство
Из неравенства Бернулли следует:
\[ (0,999)^n = (1 - 0,001)^n \geq 1 - 0,001 n \]
Нам нужно, чтобы \((0,999)^n < 0,001\). Тогда учитывая нижнюю границу, полученную по неравенству Бернулли, мы можем найти соответствующее n.
Пусть:
\[ (1 - 0,001)^n < 0,001 \]
и при этом \( (1 - 0,001)^n \geq 1 - 0,001 n \).
Если \(1 - 0,001 n \leq 0,001\), то:
\[ 1 - 0,001 n < 0,001 \]
или
\[ 1 - 0,001 n < 0,001 \]
вычтем 1 из обеих частей:
\[ - 0,001 n < -0,999 \]
или
\[ 0,001 n > 0,999 \]
отсюда получаем:
\[ n > \frac{0,999}{0,001} = 999 \]
Итог:
Если \(n > 999\), то по неравенству Бернулли:
\[ (1 - 0,001)^n \geq 1 - 0,001 n \]
а при этом:
\[ 1 - 0,001 n < 0,001 \]
значит, что:
\[ (0,999)^n = (1 - 0,001)^n < 0,001 \]
правда, это неравенство будет выполнено для всех \(n \geq 1000\).
Ответ:
Начиная с \( n \geq 1000 \), выполняется неравенство:
\[ (0,999)^n < 0,001 \]
т.е., при достаточно больших \(n\), степень числа \(0,999\) становится меньше \(0,001\).
Если есть дополнительные вопросы по задачам или требуется более глубокое объяснение — сообщайте!
