Задача: √(x + 5) - √(x - 3) = 2

Давайте решим уравнение:
\[ \sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 3} = 2 \]

Шаг 1. Определим домен уравнения

Для того чтобы выражения под корнями были определены, необходимо: \[ x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5 \] \[ x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \] Наименьшее допустимое значение \(x\) — это 3, следовательно, домен решения: \(x \geq 3\).

Шаг 2. Обозначим выражения

Обозначим: \[ a = \sqrt{x + 5} \] \[ b = \sqrt{x - 3} \]

Тогда уравнение выглядит так: \[ a - b = 2 \]

Нам нужно выразить \(x\) через \(a\) или \(b\), но проще попробовать избавиться от корней, возведя обе части уравнения в квадрат.

Шаг 3. Возведение в квадрат

Перепишем уравнение: \[ \sqrt{x + 5} = 2 + \sqrt{x - 3} \]

Теперь возьмем в квадрат обе части:

\[ (\sqrt{x + 5})^2 = (2 + \sqrt{x - 3})^2 \]

\[ x + 5 = 4 + 4 \sqrt{x - 3} + (x - 3) \] Раскроем скобки справа: \[ x + 5 = 4 + 4 \sqrt{x - 3} + x - 3 \]

Объединим подобные: \[ x + 5 = (x + 1) + 4 \sqrt{x - 3} \]

Теперь вычтем \(x + 1\) из обеих частей: \[ x + 5 - (x + 1) = 4 \sqrt{x - 3} \]

\[ 4 = 4 \sqrt{x - 3} \]

Поделим обе стороны на 4: \[ 1 = \sqrt{x - 3} \]

Шаг 4. Решение относительно \(x\)

Итак: \[ \sqrt{x - 3} = 1 \] Возьмем в квадрат: \[ x - 3 = 1^2 = 1 \] \[ x = 4 \]

Шаг 5. Проверка корня

Подставим \(x = 4\) в исходное уравнение: \[ \sqrt{4 + 5} - \sqrt{4 - 3} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 \] Это совпадает с правой частью уравнения.

Ответ:

\[ \boxed{x = 4} \]

Это единственное решение, удовлетворяющее исходному уравнению и домену.