6/(4+х)>=1/х
Рассмотрим задачу:
\[ \frac{6}{4 + x} \geq \frac{1}{x} \]
Цель — понять решение.
Шаг 1: Анализ неравенства
Нам нужно найти все значения \( x \), при которых оно выполняется.
Важно помнить:
- Знак деления на выражения, которые могут равняться нулю.
- Условия, при которых неравенство неопределенно.
Шаг 2: Ограничения
- \( x \neq 0 \) (так как делим на \( x \))
- \( 4 + x \neq 0 \Rightarrow x \neq -4 \)
Итак, исключаем из рассмотрения \( x = 0 \) и \( x = -4 \).
Шаг 3: Передача всех слагаемых в одну сторону
Перенесём правую часть в левую сторону:
\[ \frac{6}{4 + x} - \frac{1}{x} \geq 0 \]
Объединим полученное выражение:
\[ \frac{6}{4 + x} - \frac{1}{x} \geq 0 \]
Шаг 4: Приведение к общему знаменателю
Общий знаменатель — это произведение \( x(4 + x) \):
\[ \frac{6x}{x(4 + x)} - \frac{4 + x}{x(4 + x)} \geq 0 \]
Объединим в одну дробь:
\[ \frac{6x - (4 + x)}{x(4 + x)} \geq 0 \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ \frac{6x - 4 - x}{x(4 + x)} \geq 0 \]
Упростим числитель:
\[ \frac{(6x - x) - 4}{x(4 + x)} = \frac{5x - 4}{x(4 + x)} \geq 0 \]
Шаг 5: Анализ знаков дроби
Теперь задача сводится к решению неравенства:
\[ \frac{5x - 4}{x(4 + x)} \geq 0 \]
Знаменатель: \( x(4 + x) \)
Числитель: \( 5x - 4 \)
Обнулятся эти выражения при:
- \( 5x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{5} \)
- \( x = 0 \) (знаменатель равен нулю)
- \( 4 + x = 0 \Rightarrow x = -4 \)
Итак, ключевые точки: \( x = -4, 0, \frac{4}{5} \)
Шаг 6: Построение числовой оси и разбиение на интервалы
Разделим числовую ось по этим точкам:
- \( (-\infty, -4) \)
- \( (-4, 0) \)
- \( (0, \frac{4}{5}) \)
- \( (\frac{4}{5}, +\infty) \)
На каждом интервале определим знак выражения.
Шаг 7: Анализ знаков
Выражение:
\[ \frac{5x - 4}{x(4 + x)} \]
Знак этого выражения зависит от знаков числителя и знаменателя.
Точки разрыва и нулевые значения:
| x | 5x - 4 | x | 4 + x |
|---|---|---|---|
| -4 | -20 - 4 = -24 | -4 | 0 (не определено, исключить) |
| 0 | -4 | 0 | 4 (положительно) |
| 4/5 | 5*(4/5) - 4 = 4 - 4 = 0 |
Шаг 8: Определение знаков на интервалах
- Интервал \((-\infty, -4)\):
\( x < -4 \), например \( x = -5 \):
- \( 5x - 4 = 5 * (-5) - 4 = -25 - 4 = -29 \) (отрицательное)
- \( x = -5 \) (отрицательное)
- \( 4 + x = 4 - 5 = -1 \) (отрицательное)
Знак деления: (-) / (-) = (+)
Значит, выражение ≥ 0 на \((-\infty, -4)\).
Но \( x = -4 \) не включаем — оно исключено, потому что деление на ноль.
- Интервал \((-4, 0)\):
Возьмём \( x = -3 \):
- \( 5 * (-3) - 4 = -15 - 4 = -19 \) (отрицательное)
- \( x = -3 \) (отрицательное)
- \( 4 + x = 4 - 3 = 1 \) (положительное)
Знак деления: (-) / (+) = (-), выражение отрицательное → не подходит.
- Интервал \((0, \frac{4}{5})\):
Возьмём \( x = 0.4 \):
- \( 5 * 0.4 - 4 = 2 - 4 = -2 \) (отрицательное)
- \( x > 0 \) (положительное)
- \( 4 + x = 4 + 0.4 = 4.4 \) (положительно)
Знак деления: (+) / (+) = (+)
Значение ≥ 0 — подходит. Но при \( x = \frac{4}{5} \), числитель равен нулю.
- Интервал \((\frac{4}{5}, +\infty)\):
Возьмём \( x = 1 \):
- \( 5 * 1 - 4 = 1 \) (положительно)
- \( x = 1 \) (положительно)
- \( 4 + 1 = 5 \) (положительно)
Знак деления: (+) / (+) = (+), подходит.
Шаг 9: Итоговое решение
Объединяем полученные интервалы, учитывая знак неравенства:
- На \((-\infty, -4)\): выражение ≥ 0, но \( x ≠ -4 \), поэтому \( x \in (-\infty, -4) \)
- На \((-4, 0)\): выражение отрицательное, не подходит
- На \([0, \frac{4}{5})\): выражение ≥ 0, исключая точку \( x = \frac{4}{5} \) (где числитель равен нулю), поскольку неравенство ≥, то и равенство включаем.
- На \((\frac{4}{5}, +\infty)\): выражение ≥ 0
Но при \( x = \frac{4}{5} \) числитель равен нулю:
\[ \frac{0}{x(4 + x)} = 0 \Rightarrow \text{условие выполнено} \]
Поскольку неравенство "больше или равно", включаем точку \( x = \frac{4}{5} \).
Также нужно помнить, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq -4 \) изначально.
Итоговое решение:
\[ \boxed{ (-\infty, -4) \cup [0, \frac{4}{5}] \cup (\frac{4}{5}, +\infty) } \]
с исключением точек \( x = -4 \) и \( x = 0 \), где выражение не определено.
Окончательно:
\[ \boxed{ (-\infty, -4) \cup \left[ \frac{4}{5} \right) \cup (\frac{4}{5}, +\infty), \quad \text{при этом } x \neq 0, \ x \neq -4 } \]
Так как \( 0 \) исключено, то финальный ответ:
\[ (-\infty, -4) \cup \left( \frac{4}{5}, +\infty \right) \]
(Объединяя интервал и учитывая, что \( x=0 \) исключено, и в интервале \( (0, 4/5) \) условие выполняется, то его тоже включаем, а \( x=0 \) исключаем.)
Если нужно, я могу оформить окончательный ответ точнее — например, отобразить его в виде интервалов с исключениями.
