6/(4+х)>=1/х

Рассмотрим задачу: \[ \frac{6}{4 + x} \geq \frac{1}{x} \] Цель — понять решение. --- ### Шаг 1: Анализ неравенства Нам нужно найти все значения \( x \), при которых оно выполняется. Важно помнить: - Знак деления на выражения, которые могут равняться нулю. - Условия, при которых неравенство неопределенно. --- ### Шаг 2: Ограничения - \( x \neq 0 \) (так как делим на \( x \)) - \( 4 + x \neq 0 \Rightarrow x \neq -4 \) Итак, исключаем из рассмотрения \( x = 0 \) и \( x = -4 \). --- ### Шаг 3: Передача всех слагаемых в одну сторону Перенесём правую часть в левую сторону: \[ \frac{6}{4 + x} - \frac{1}{x} \geq 0 \] Объединим полученное выражение: \[ \frac{6}{4 + x} - \frac{1}{x} \geq 0 \] --- ### Шаг 4: Приведение к общему знаменателю Общий знаменатель — это произведение \( x(4 + x) \): \[ \frac{6x}{x(4 + x)} - \frac{4 + x}{x(4 + x)} \geq 0 \] Объединим в одну дробь: \[ \frac{6x - (4 + x)}{x(4 + x)} \geq 0 \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{6x - 4 - x}{x(4 + x)} \geq 0 \] Упростим числитель: \[ \frac{(6x - x) - 4}{x(4 + x)} = \frac{5x - 4}{x(4 + x)} \geq 0 \] --- ### Шаг 5: Анализ знаков дроби Теперь задача сводится к решению неравенства: \[ \frac{5x - 4}{x(4 + x)} \geq 0 \] Знаменатель: \( x(4 + x) \) Числитель: \( 5x - 4 \) Обнулятся эти выражения при: - \( 5x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{5} \) - \( x = 0 \) (знаменатель равен нулю) - \( 4 + x = 0 \Rightarrow x = -4 \) Итак, ключевые точки: **\( x = -4, 0, \frac{4}{5} \)** --- ### Шаг 6: Построение числовой оси и разбиение на интервалы Разделим числовую ось по этим точкам: - \( (-\infty, -4) \) - \( (-4, 0) \) - \( (0, \frac{4}{5}) \) - \( (\frac{4}{5}, +\infty) \) На каждом интервале определим знак выражения. --- ### Шаг 7: Анализ знаков Выражение: \[ \frac{5x - 4}{x(4 + x)} \] Знак этого выражения зависит от знаков числителя и знаменателя. #### Точки разрыва и нулевые значения: | x | 5x - 4 | x | 4 + x | |---|---------|---|--------| | -4 | -20 - 4 = -24 | -4 | 0 (не определено, исключить) | | 0 | -4 | 0 | 4 (положительно) | | 4/5 | 5*(4/5) - 4 = 4 - 4 = 0 | --- ### Шаг 8: Определение знаков на интервалах 1. **Интервал \((-\infty, -4)\):** - \( x < -4 \), например \( x = -5 \): - \( 5x - 4 = 5 * (-5) - 4 = -25 - 4 = -29 \) (отрицательное) - \( x = -5 \) (отрицательное) - \( 4 + x = 4 - 5 = -1 \) (отрицательное) Знак деления: (-) / (-) = (+) **Значит, выражение ≥ 0 на \((-\infty, -4)\).** Но \( x = -4 \) не включаем — оно исключено, потому что деление на ноль. 2. **Интервал \((-4, 0)\):** - Возьмём \( x = -3 \): - \( 5 * (-3) - 4 = -15 - 4 = -19 \) (отрицательное) - \( x = -3 \) (отрицательное) - \( 4 + x = 4 - 3 = 1 \) (положительное) Знак деления: (-) / (+) = (-), выражение отрицательное → не подходит. 3. **Интервал \((0, \frac{4}{5})\):** - Возьмём \( x = 0.4 \): - \( 5 * 0.4 - 4 = 2 - 4 = -2 \) (отрицательное) - \( x > 0 \) (положительное) - \( 4 + x = 4 + 0.4 = 4.4 \) (положительно) Знак деления: (+) / (+) = (+) Значение ≥ 0 — подходит. Но при \( x = \frac{4}{5} \), числитель равен нулю. 4. **Интервал \((\frac{4}{5}, +\infty)\):** - Возьмём \( x = 1 \): - \( 5 * 1 - 4 = 1 \) (положительно) - \( x = 1 \) (положительно) - \( 4 + 1 = 5 \) (положительно) Знак деления: (+) / (+) = (+), подходит. --- ### Шаг 9: Итоговое решение Объединяем полученные интервалы, учитывая знак неравенства: - На \((-\infty, -4)\): выражение ≥ 0, но \( x ≠ -4 \), поэтому \( x \in (-\infty, -4) \) - На \((-4, 0)\): выражение отрицательное, не подходит - На \([0, \frac{4}{5})\): выражение ≥ 0, исключая точку \( x = \frac{4}{5} \) (где числитель равен нулю), поскольку неравенство ≥, то и равенство включаем. - На \((\frac{4}{5}, +\infty)\): выражение ≥ 0 Но при \( x = \frac{4}{5} \) числитель равен нулю: \[ \frac{0}{x(4 + x)} = 0 \Rightarrow \text{условие выполнено} \] Поскольку неравенство "больше или равно", включаем точку \( x = \frac{4}{5} \). Также нужно помнить, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq -4 \) изначально. --- ### **Итоговое решение:** \[ \boxed{ (-\infty, -4) \cup [0, \frac{4}{5}] \cup (\frac{4}{5}, +\infty) } \] с исключением точек \( x = -4 \) и \( x = 0 \), где выражение не определено. **Окончательно:** \[ \boxed{ (-\infty, -4) \cup \left[ \frac{4}{5} \right) \cup (\frac{4}{5}, +\infty), \quad \text{при этом } x \neq 0, \ x \neq -4 } \] Так как \( 0 \) исключено, то финальный ответ: \[ (-\infty, -4) \cup \left( \frac{4}{5}, +\infty \right) \] (Объединяя интервал и учитывая, что \( x=0 \) исключено, и в интервале \( (0, 4/5) \) условие выполняется, то его тоже включаем, а \( x=0 \) исключаем.) --- Если нужно, я могу оформить окончательный ответ точнее — например, отобразить его в виде интервалов с исключениями.