задача 7
Давайте разберем задачу 7, которая выглядит так:
Решите уравнение: \[ | -8x - 4x^2 | = 6 , \quad \text{и} \quad \sqrt{1 - 2x} = 0 . \]
Решение уравнения \( | -8x - 4x^2 | = 6 \)
Упростим выражение под знаком модуля: \[ |-8x - 4x^2| = | -4x^2 - 8x | . \]
Заметим, что выражение внутри модуля — это квадратичная функция. Мы можем решить два случая:
- Когда выражение положительно: \[ -8x - 4x^2 = 6, \]
- Когда выражение отрицательно: \[ -8x - 4x^2 = -6. \]
Решение первого случая \(-8x - 4x^2 = 6\):
Перенесем все в одну сторону: \[ -4x^2 - 8x - 6 = 0. \]
Разделим обе части на -2, чтобы упростить: \[ 2x^2 + 4x + 3 = 0. \]
Найдем дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \times 2 \times 3 = 16 - 24 = -8. \]
Так как дискриминант отрицателен, решений в реальных числах нет.
Решение второго случая \(-8x - 4x^2 = -6\):
Переносим все: \[ -4x^2 - 8x + 6 = 0, \]
или делим на -2: \[ 2x^2 + 4x - 3 = 0. \]
Находим дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 16 + 24 = 40. \]
Корни уравнения: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2 \times 2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}. \]
Итак, решения: \[ x = \frac{-2 + \sqrt{10}}{2}, \quad x = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2}. \]
Итог для уравнения \( | -8x - 4x^2 | = 6 \):
\[ x = \frac{-2 + \sqrt{10}}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2}. \]
Решение уравнения \(\sqrt{1 - 2x} = 0\):
Значение корня равно нулю, когда выражение под ним равно нулю: \[ 1 - 2x = 0, \] откуда: \[ 2x = 1, \] \[ x = \frac{1}{2}. \]
Итоговые ответы:
\[ \boxed{ x = \frac{-2 + \sqrt{10}}{2}, \quad x = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2}, \quad \text{и} \quad x = \frac{1}{2}. } \]
Если нужны дополнительные объяснения или проверка, скажите!
