4. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ - диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: дуга ВС=134°

Давайте подробно разберём задачу.

Дано:

• В окружности вписан треугольник \( ABC \).
• Отрезок \( AB \) — диаметр окружности.
• Дуга \( BC \) равна 134°.

Нам нужно найти углы треугольника \( ABC \).

Шаг 1. Свойство о вписанных углах и диаметре

Когда в окружности есть диаметр, то:

• Угол, опирающийся на этот диаметр (т.е. угол, лежащий напротив диаметра), является прямым.

Это важное свойство:
Если \( AB \) — диаметр, то угол \( C \), который опирается на дугу \( AB \), равен 90°.

Значит:
\[ \angle C = 90^\circ \]

Шаг 2. Связь дуг и углов треугольника

Углы внутри треугольника связаны с дугами окружности:

• Угол в треугольнике, опирающийся на дугу \( XY \), равен половине меры дуги \( XY \).

Итак,
\[ \angle A = \frac{1}{2} \text{мера дуги } BC \] \[ \angle B = \frac{1}{2} \text{мера дуги } AC \] \[ \angle C = \frac{1}{2} \text{мера дуги } AB \]

Шаг 3. Определение дуг

Дуга \( BC = 134^\circ \).

Поскольку \( AB \) — диаметр, то дуга \( AB \), на которую опирается угол \( C \), — это длина диаметра, равная 180°:

\[ \text{Дуга } AB = 180^\circ \]

Отметим, что сумма дуг на окружности равна 360°, и дуги \( AC \) и \( BC \) вместе со дугой \( AB \) покрывают всю окружность:

\[ \text{Дуга } AC + \text{Дуга } BC + \text{Дуга } AB = 360^\circ \]

Нам уже известно:

\[ \text{Дуга } BC = 134^\circ \] \[ \text{Дуга } AB = 180^\circ \]

Обозначим \( x \) — меру дуги \( AC \):

\[ x + 134^\circ + 180^\circ = 360^\circ \]

\[ x + 314^\circ = 360^\circ \]

\[ x = 360^\circ - 314^\circ = 46^\circ \]

Итак,

• дуга \( AC = 46^\circ \)
• дуга \( BC = 134^\circ \)
• дуга \( AB = 180^\circ \)

Шаг 4. Находим углы треугольника

Теперь, исходя из свойств:

\[ \angle A = \frac{1}{2} \text{меры дуги } BC = \frac{1}{2} \times 134^\circ = 67^\circ \]

\[ \angle B = \frac{1}{2} \text{меры дуги } AC = \frac{1}{2} \times 46^\circ = 23^\circ \]

\[ \angle C = \frac{1}{2} \text{меры дуги } AB = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ \]

Ответ:

\[ \boxed{ \begin{aligned} \angle A &= 67^\circ \\ \angle B &= 23^\circ \\ \angle C &= 90^\circ \end{aligned} } \]

Угол \( C \) — прямой (90°), как и ожидалось, поскольку \( AB \) — диаметр.

Если нужно еще что-то уточнить или дополнительно объяснить, сообщайте!