задача 8
Конечно! Вот подробное решение задачи 8 из вашего экзаменационного билета, которая звучит так:
Задача 8:
Найти все действительные значения параметра \( a \), при которых система уравнений
\[
\begin{cases}
1 - \sqrt{|x-1|} = \sqrt{7|y|} \\
49 y^2 + x^2 + 4a - 2x - 1 = 0
\end{cases}
\]
имеет четыре решения.
Шаг 1: Анализ первого уравнения
Первое уравнение:
\[ 1 - \sqrt{|x-1|} = \sqrt{7|y|} \]
- Левая часть: \( 1 - \sqrt{|x - 1|} \)
- Правая часть: \( \sqrt{7 |y|} \geq 0 \)
Чтобы выражение было определено:
- \( \sqrt{|x - 1|} \leq 1 \Rightarrow |x - 1| \leq 1 \)
Это значит: \[ -1 \leq x - 1 \leq 1 \Rightarrow 0 \leq x \leq 2 \]
Также, поскольку \( \sqrt{|x-1|} \geq 0 \), левая часть: \[ 1 - \sqrt{|x - 1|} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{|x - 1|} \leq 1 \] это уже учтено.
Пусть: \[ t = \sqrt{|x - 1|} \] тогда уравнение принимает вид: \[ 1 - t = \sqrt{7|y|} \geq 0 \] следовательно: \[ 1 - t \geq 0 \Rightarrow t \leq 1 \] Что согласуется с нашим ограничением.
Теперь: \[ \sqrt{7|y|} = 1 - t \] и: \[ |y| = \frac{(1 - t)^2}{7} \]
Так как \( t = \sqrt{|x - 1|} \), то: \[ t \in [0,1] \] и: \[ |y| = \frac{(1 - t)^2}{7} \]
Шаг 2: Анализ системы уравнений с учетом выражения для \( y \)
Подставим \( y \) в второе уравнение: \[ 49 y^2 + x^2 + 4a - 2x - 1 = 0 \]
Т.к. \( |y| = \frac{(1 - t)^2}{7} \), \[ y^2 = \frac{(1 - t)^4}{49} \] значит: \[ 49 y^2 = (1 - t)^4 \]
Пусть: \[ x = 1 \pm t \] по определению \( t = \sqrt{|x - 1|} \).
Шаг 3: Варианты для \( x \)
Рассмотрим два возможных варианта:
- Вариант 1: \( x = 1 + t \)
- Вариант 2: \( x = 1 - t \)
Рассмотрим каждое отдельно.
Вариант 1: \( x = 1 + t \)
Тогда: \[ x^2 = (1 + t)^2 = 1 + 2t + t^2 \]
Подставим в второе уравнение: \[ (1 - t)^4 + (1 + 2t + t^2) + 4a - 2(1 + t) - 1 = 0 \]
Приведем подобные: \[ (1 - t)^4 + 1 + 2t + t^2 + 4a - 2 - 2t - 1 = 0 \] \[ (1 - t)^4 + t^2 + 4a - 2 = 0 \] (заменили \( 1 + 2t - 2t - 2 \) на \( -2 \))
Остается упростить первое выражение, используя биномиальную формулу: \[ (1 - t)^4 = 1 - 4t + 6t^2 - 4t^3 + t^4 \]
Подставим: \[ 1 - 4t + 6t^2 - 4t^3 + t^4 + t^2 + 4a - 2 = 0 \] Объединим подобные: \[ (1 - 2) + (-4t) + (6t^2 + t^2) + (-4t^3) + t^4 + 4a = 0 \] \[ -1 - 4t + 7t^2 - 4t^3 + t^4 + 4a = 0 \]
Обозначим это уравнение: \[ t^4 - 4t^3 + 7t^2 - 4t - 1 + 4a = 0 \]
Вариант 2: \( x = 1 - t \)
Тогда: \[ x^2 = (1 - t)^2 = 1 - 2t + t^2 \]
Подставим в второе уравнение: \[ (1 - t)^4 + (1 - 2t + t^2) + 4a - 2(1 - t) - 1 = 0 \]
Рассчитаем: \[ (1 - t)^4 + 1 - 2t + t^2 + 4a - 2 + 2t - 1 = 0 \]
Объединим: \[ (1 - t)^4 + t^2 + 4a - 2 = 0 \]
Как и в предыдущем случае, \( (1 - t)^4 \) — это тот же биномиальный разложение, поэтому уравнение то же самое: \[ -1 - 4t + 7t^2 - 4t^3 + t^4 + 4a = 0 \]
Итог: уравнение для \( t \):
Объединяем оба варианта — они дают одинаковое уравнение: \[ t^4 - 4t^3 + 7t^2 - 4t - 1 + 4a = 0 \]
Шаг 4: Анализ уравнения для чисел решений
Обратите внимание:
- \( t \in [0, 1] \), поскольку \( t = \sqrt{|x - 1|} \)
- Для каждого \( t \in [0, 1] \), мы можем найти \( x \): \[ x = 1 \pm t \]
Итак, для каждого решения уравнения по \( t \) (в интервале [0, 1]), соответствуют два значения \( x \): \( 1 + t \) и \( 1 - t \).
Шаг 5: Определение числа решений системы
- Для каждого \( t \), когда уравнение \[ Q(t) = t^4 - 4t^3 + 7t^2 - 4t - 1 + 4a = 0 \] имеет решения в интервале \( [0, 1] \),
- тогда по каждому решению уравнения, мы получаем две точки \( (x, y) \) — по \( x= 1 \pm t \), и соответствующие \( y \): \[ |y| = \frac{(1 - t)^2}{7} \] то есть две точки для каждого положительного \( y \), и ещё два решения, если \( y=0 \).
Шаг 6: Подсчет числа решений и условие для их количества
Если \( t=0 \), то \( y=0 \), и \( x=1 \pm 0=1 \). Тогда \( y=0 \), \( x=1 \).
Для \( t \in (0,1] \), решения уравнения \( Q(t)=0 \) дают значения \( t \), что дает по два решения \( x=1 \pm t \).
При этом, чтобы решение было действительно, \( t \in [0,1] \).
Для получения четырех решений, нам нужно, чтобы \( уравнение \(Q(t)=0\) имело два корня в интервале \( (0, 1) \) вместе с корнем в точке \( t=0 \).
Шаг 7: Значения \( a \), при которых уравнение имеет 2/3/4 корней
Рассмотрим уравнение [ Q(t) = t^4 - 4t^3 + 7t^2 - 4t - 1 + 4a = 0
