Задача 8

Конечно! Вот подробное решение задачи 8 из вашего экзаменационного билета, которая звучит так: **Задача 8:** Найти все действительные значения параметра \( a \), при которых система уравнений \[ \begin{cases} 1 - \sqrt{|x-1|} = \sqrt{7|y|} \\ 49 y^2 + x^2 + 4a - 2x - 1 = 0 \end{cases} \] имеет четыре решения. --- ### Шаг 1: Анализ первого уравнения Первое уравнение: \[ 1 - \sqrt{|x-1|} = \sqrt{7|y|} \] - Левая часть: \( 1 - \sqrt{|x - 1|} \) - Правая часть: \( \sqrt{7 |y|} \geq 0 \) Чтобы выражение было определено: - \( \sqrt{|x - 1|} \leq 1 \Rightarrow |x - 1| \leq 1 \) Это значит: \[ -1 \leq x - 1 \leq 1 \Rightarrow 0 \leq x \leq 2 \] Также, поскольку \( \sqrt{|x-1|} \geq 0 \), левая часть: \[ 1 - \sqrt{|x - 1|} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{|x - 1|} \leq 1 \] это уже учтено. Пусть: \[ t = \sqrt{|x - 1|} \] тогда уравнение принимает вид: \[ 1 - t = \sqrt{7|y|} \geq 0 \] следовательно: \[ 1 - t \geq 0 \Rightarrow t \leq 1 \] Что согласуется с нашим ограничением. Теперь: \[ \sqrt{7|y|} = 1 - t \] и: \[ |y| = \frac{(1 - t)^2}{7} \] Так как \( t = \sqrt{|x - 1|} \), то: \[ t \in [0,1] \] и: \[ |y| = \frac{(1 - t)^2}{7} \] --- ### Шаг 2: Анализ системы уравнений с учетом выражения для \( y \) Подставим \( y \) в второе уравнение: \[ 49 y^2 + x^2 + 4a - 2x - 1 = 0 \] Т.к. \( |y| = \frac{(1 - t)^2}{7} \), \[ y^2 = \frac{(1 - t)^4}{49} \] значит: \[ 49 y^2 = (1 - t)^4 \] Пусть: \[ x = 1 \pm t \] по определению \( t = \sqrt{|x - 1|} \). --- ### Шаг 3: Варианты для \( x \) Рассмотрим два возможных варианта: - **Вариант 1**: \( x = 1 + t \) - **Вариант 2**: \( x = 1 - t \) Рассмотрим каждое отдельно. --- ### Вариант 1: \( x = 1 + t \) Тогда: \[ x^2 = (1 + t)^2 = 1 + 2t + t^2 \] Подставим в второе уравнение: \[ (1 - t)^4 + (1 + 2t + t^2) + 4a - 2(1 + t) - 1 = 0 \] Приведем подобные: \[ (1 - t)^4 + 1 + 2t + t^2 + 4a - 2 - 2t - 1 = 0 \] \[ (1 - t)^4 + t^2 + 4a - 2 = 0 \] (заменили \( 1 + 2t - 2t - 2 \) на \( -2 \)) Остается упростить первое выражение, используя биномиальную формулу: \[ (1 - t)^4 = 1 - 4t + 6t^2 - 4t^3 + t^4 \] Подставим: \[ 1 - 4t + 6t^2 - 4t^3 + t^4 + t^2 + 4a - 2 = 0 \] Объединим подобные: \[ (1 - 2) + (-4t) + (6t^2 + t^2) + (-4t^3) + t^4 + 4a = 0 \] \[ -1 - 4t + 7t^2 - 4t^3 + t^4 + 4a = 0 \] Обозначим это уравнение: \[ t^4 - 4t^3 + 7t^2 - 4t - 1 + 4a = 0 \] --- ### Вариант 2: \( x = 1 - t \) Тогда: \[ x^2 = (1 - t)^2 = 1 - 2t + t^2 \] Подставим в второе уравнение: \[ (1 - t)^4 + (1 - 2t + t^2) + 4a - 2(1 - t) - 1 = 0 \] Рассчитаем: \[ (1 - t)^4 + 1 - 2t + t^2 + 4a - 2 + 2t - 1 = 0 \] Объединим: \[ (1 - t)^4 + t^2 + 4a - 2 = 0 \] Как и в предыдущем случае, \( (1 - t)^4 \) — это тот же биномиальный разложение, поэтому уравнение то же самое: \[ -1 - 4t + 7t^2 - 4t^3 + t^4 + 4a = 0 \] --- ### Итог: уравнение для \( t \): Объединяем оба варианта — они дают одинаковое уравнение: \[ t^4 - 4t^3 + 7t^2 - 4t - 1 + 4a = 0 \] --- ### Шаг 4: Анализ уравнения для чисел решений Обратите внимание: - \( t \in [0, 1] \), поскольку \( t = \sqrt{|x - 1|} \) - Для каждого \( t \in [0, 1] \), мы можем найти \( x \): \[ x = 1 \pm t \] Итак, для каждого решения уравнения по \( t \) (в интервале [0, 1]), соответствуют два значения \( x \): \( 1 + t \) и \( 1 - t \). --- ### Шаг 5: Определение числа решений системы - Для каждого \( t \), когда уравнение \[ Q(t) = t^4 - 4t^3 + 7t^2 - 4t - 1 + 4a = 0 \] имеет решения в интервале \( [0, 1] \), - тогда по каждому решению уравнения, мы получаем две точки \( (x, y) \) — по \( x= 1 \pm t \), и соответствующие \( y \): \[ |y| = \frac{(1 - t)^2}{7} \] то есть две точки для каждого положительного \( y \), и ещё два решения, если \( y=0 \). --- ### Шаг 6: Подсчет числа решений и условие для их количества - Если \( t=0 \), то \( y=0 \), и \( x=1 \pm 0=1 \). Тогда \( y=0 \), \( x=1 \). - Для \( t \in (0,1] \), решения уравнения \( Q(t)=0 \) дают значения \( t \), что дает по два решения \( x=1 \pm t \). - При этом, чтобы решение было действительно, \( t \in [0,1] \). - Для получения **четырех решений**, нам нужно, чтобы \( уравнение \(Q(t)=0\) имело **два** корня в интервале \( (0, 1) \) вместе с корнем в точке \( t=0 \). --- ### Шаг 7: Значения \( a \), при которых уравнение имеет 2/3/4 корней Рассмотрим уравнение \[ Q(t) = t^4 - 4t^3 + 7t^2 - 4t - 1 + 4a = 0