x³+x+=0

Похоже, в условии есть опечатка или недостающие символы: уравнение: \( x^3 + x + = 0 \). Предположу, что правильное уравнение выглядит так:

\[ x^3 + x + 1 = 0 \]

Если это не так, пожалуйста, уточните.

Решение уравнения \( x^3 + x + 1 = 0 \)

1. Анализ уравнения

Уравнение — кубическое: \( x^3 + x + 1 = 0 \).
Здесь нет квадратичного члена (\( x^2 \)), что чуть упрощает поиск решений.

2. Ищем рациональные корни по теореме VIета

Теорема VIета говорит, что рациональные корни — делители свободного члена (1): \(\pm1\).

Проверим эти значения:

• \( x=1 \): \( 1^3 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0 \)
• \( x=-1 \): \( (-1)^3 + (-1) + 1 = -1 -1 + 1 = -1 \neq 0 \)

Рациональные корни отсутствуют.

3. Аналитическое решение методом Cardano

Для кубического уравнения вида \( x^3 + ax + b = 0 \), корни можно найти через формулы Кардано.

Здесь:

• \( a=1 \)
• \( b=1 \)

Расчёт:

\[ D = \left( \frac{b}{2} \right)^2 + \left( \frac{a}{3} \right)^3 \]

Подставим значения:

\[ D = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{4} + \frac{1}{27} \]

Приведём к общему знаменателю 108:

\[ D = \frac{27}{108} + \frac{4}{108} = \frac{31}{108} > 0 \]

Так как дискриминант \( D > 0 \), у уравнения есть один вещественный корень и два комплексных.

4. Находим один вещественный корень

Корень вычисляется по формуле:

\[ x = \sqrt[3]{-\frac{b}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{-\frac{b}{2} - \sqrt{D}} \]

Подставим значения:

\[ -\frac{b}{2} = -\frac{1}{2} \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{\frac{31}{108}} = \frac{\sqrt{31}}{\sqrt{108}} = \frac{\sqrt{31}}{6 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{31}}{6 \sqrt{3}} \]

Рассчитаем более точно:

• \(\sqrt{31} \approx 5.57\)
• \(\sqrt{108} \approx 10.392\)
• Тогда:

\[ \sqrt{D} \approx \frac{5.57}{10.392} \approx 0.536 \]

Теперь найдём:

\[ u = \sqrt[3]{ -\frac{1}{2} + 0.536 } = \sqrt[3]{ 0.036 } \approx 0.33 \]

\[ v = \sqrt[3]{ -\frac{1}{2} - 0.536 } = \sqrt[3]{ -1.036 } \approx -1.01 \]

Итак,

\[ x \approx 0.33 + (-1.01) = -0.68 \]

Этот приближённый корень — вещественный.

5. Итог

• Вещественный корень приблизительно равен \(\boxed{-0.68}\).
• Остальные два корня — комплексные и можно найти, выразив через формулы Кардано, но они будут комплексными.

Если нужно точное выражение для корней или более подробные шаги по нахождению комплексных решений — сообщите!