х:х+1+2х:х-1=4х:х^2-1

Давайте подробно разберём задачу. Она записана следующим образом:

\[ \frac{х}{х+1} + \frac{2х}{х-1} = \frac{4х}{х^2 - 1} \]

Цель: понять и пошагово решить данное уравнение.

---

Шаг 1. Анализировать левую и правую части уравнения

Обратим внимание, что в правой части стоит дробь \(\frac{4х}{х^2 - 1}\). Заметим, что \(х^2 - 1\) — это разложение разности квадратов:

\[ х^2 - 1 = (х - 1)(х + 1) \]

Это важно, потому что и в левой части есть знаменатели \((х+1)\) и \((х-1)\).

Шаг 2. Записываем исходное уравнение

\[ \frac{х}{х+1} + \frac{2х}{х-1} = \frac{4х}{(х - 1)(х + 1)} \]

---

Шаг 3. Общий знаменатель

Чтобы упростить уравнение, приведём левую часть к общему знаменателю \((х+1)(х-1)\):

\[ \frac{х (х-1)}{(х+1)(х-1)} + \frac{2х (х+1)}{(х+1)(х-1)} \]

Объединяем дроби:

\[ \frac{х(х-1) + 2х(х+1)}{(х+1)(х-1)} = \frac{4х}{(х+1)(х-1)} \]

---

Шаг 4. Упростить числитель

Посчитаем числитель:

\[ х(х-1) + 2х(х+1) = х^2 - х + 2х^2 + 2х \]

Объединим подобные:

\[ х^2 + 2х^2 = 3х^2 \] \[ - х + 2х = + х \]

Итого числитель:

\[ 3х^2 + х \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ \frac{3х^2 + х}{(х+1)(х-1)} = \frac{4х}{(х+1)(х-1)} \]

---

Шаг 5. Уравнение с одинаковыми знаменателями

Поскольку denominаторы равные и не равны нулю (то есть \(х \neq \pm 1\)), можно избавиться от них, приравнивая числители:

\[ 3х^2 + х = 4х \]

Шаг 6. Решение полученного уравнения

Переносим все в левую сторону:

\[ 3х^2 + х - 4х = 0 \] \[ 3х^2 - 3х = 0 \]

Выносим общий множитель:

\[ 3х(х - 1) = 0 \]

Решения:

\[ 3х = 0 \Rightarrow х = 0 \] или \[ х - 1 = 0 \Rightarrow х = 1 \]

---

Шаг 7. Проверка решений и исключения

Проверим исключения — значения, при которых исходное выражение не определено:

• \(х \neq 1\), так как в исходном уравнении есть деление на \((х-1)\).
• \(х \neq -1\), так как есть деление на \((х+1)\).

Наши найденные решения:

• \(х = 0\) — допустимо, поскольку не вызывает деления на ноль.
• \(х = 1\) — исключено, так как при \(х=1\), знаменатель в правой части и в левой в исходном уравнении равен нулю (деление на ноль).

Следовательно, решение: \(х=1\) исключается.

---

Итог

Ответ: единственное допустимое решение — \(\boxed{х=0}\).

---

Если нужно более подробно объяснить каждый из шагов, скажи!