Х:х+1+2х:х-1=4х:х^2-1

Давайте подробно разберём задачу. Она записана следующим образом: \[ \frac{х}{х+1} + \frac{2х}{х-1} = \frac{4х}{х^2 - 1} \] **Цель:** понять и пошагово решить данное уравнение. --- ### Шаг 1. Анализировать левую и правую части уравнения Обратим внимание, что в правой части стоит дробь \(\frac{4х}{х^2 - 1}\). Заметим, что \(х^2 - 1\) — это разложение разности квадратов: \[ х^2 - 1 = (х - 1)(х + 1) \] Это важно, потому что и в левой части есть знаменатели \((х+1)\) и \((х-1)\). ### Шаг 2. Записываем исходное уравнение \[ \frac{х}{х+1} + \frac{2х}{х-1} = \frac{4х}{(х - 1)(х + 1)} \] --- ### Шаг 3. Общий знаменатель Чтобы упростить уравнение, приведём левую часть к общему знаменателю \((х+1)(х-1)\): \[ \frac{х (х-1)}{(х+1)(х-1)} + \frac{2х (х+1)}{(х+1)(х-1)} \] Объединяем дроби: \[ \frac{х(х-1) + 2х(х+1)}{(х+1)(х-1)} = \frac{4х}{(х+1)(х-1)} \] --- ### Шаг 4. Упростить числитель Посчитаем числитель: \[ х(х-1) + 2х(х+1) = х^2 - х + 2х^2 + 2х \] Объединим подобные: \[ х^2 + 2х^2 = 3х^2 \] \[ - х + 2х = + х \] Итого числитель: \[ 3х^2 + х \] Теперь уравнение выглядит так: \[ \frac{3х^2 + х}{(х+1)(х-1)} = \frac{4х}{(х+1)(х-1)} \] --- ### Шаг 5. Уравнение с одинаковыми знаменателями Поскольку denominаторы равные и не равны нулю (то есть \(х \neq \pm 1\)), можно избавиться от них, приравнивая числители: \[ 3х^2 + х = 4х \] ### Шаг 6. Решение полученного уравнения Переносим все в левую сторону: \[ 3х^2 + х - 4х = 0 \] \[ 3х^2 - 3х = 0 \] Выносим общий множитель: \[ 3х(х - 1) = 0 \] Решения: \[ 3х = 0 \Rightarrow х = 0 \] или \[ х - 1 = 0 \Rightarrow х = 1 \] --- ### Шаг 7. Проверка решений и исключения Проверим исключения — значения, при которых исходное выражение не определено: - \(х \neq 1\), так как в исходном уравнении есть деление на \((х-1)\). - \(х \neq -1\), так как есть деление на \((х+1)\). Наши найденные решения: - \(х = 0\) — допустимо, поскольку не вызывает деления на ноль. - \(х = 1\) — исключено, так как при \(х=1\), знаменатель в правой части и в левой в исходном уравнении равен нулю (деление на ноль). Следовательно, **решение: \(х=1\) исключается**. --- ### Итог **Ответ:** единственное допустимое решение — \(\boxed{х=0}\). --- Если нужно более подробно объяснить каждый из шагов, скажи!