Давайте подробно разберем задачу и пошагово решим каждую часть.
Дано:
- Масса платформы: ( M = 100,\text{кг} )
- Начальный покой: ( v_0 = 0 )
- Масса воздуха, поглощаемого за секунду: ( \mu = 2,\text{кг/с} )
- Скорость выбрасываемого воздуха относительно платформы: ( u = 50,\text{м/с} )
- Время, для расчетов: ( t )
Перед началом отметим важный момент: масса платформы меняется из-за поглощения и выброса воздуха, причём воздух сразу выбрасывается, и масса платформы безвозвратно теряет воздух. Считаем, что полностью удерживаем массу платформы ( M ) (то есть, без учета массы поглощенного воздуха) — по условию, "забираемый воздух сразу выбрасывается".
Шаг 1. Внутренняя система и закон сохранения импульса
Так как платформа не испытывает внешних горизонтальных сил, внутри системы "платформа + воздушный поток" сохраняется импульс.
Обозначим:
- ( v(t) ) — скорость платформы в момент времени ( t ).
- ( m(t) ) — масса воздуха, поглощенного за время ( t ): ( m(t) = \mu t ).
Пока платформа поглощает воздух и выбрасывает его, масса системы влияет на ее импульс.
Шаг 2. Расчет изменения импульса
За малый промежуток времени ( dt ):
- За это время платформа захватывает воздух массой ( \mu,dt ).
- Этот воздух, находясь внутри платформы, выбрасывается назад со скоростью ( u ) относительно платформы.
Обратите внимание:
- Скорость воздуха относительно земли (по условию): ( v_{воздуха} = v(t) - u ).
Шаг 3. Вычисление изменения импульса системы
В момент времени ( t ) у платформы:
- Импульс: ( p(t) = m_{платф} \cdot v(t) ), где ( m_{платф} = M + m(t) ). Однако, поскольку воздух сразу выбрасывается, его масса не увеличивает массу платформы в краткосрочной мере, а просто передается как внутренний поток.
- В системе "платформа + воздух" внутренний обмен массой и импульсом — важный момент: изменение импульса связано с выбросом воздуха.
За счёт выброса воздуха:
Воздух массой ( dm = \mu dt ) выбрасывается назад со скоростью относительно земли:
[
v_{воздуха} = v(t) - u
]
Внутренний поток импульса:
[
d p_{воздуха} = dm \cdot v_{воздуха} = \mu dt (v - u)
]
Поскольку воздух выбрасывается, платформа теряет импульс равной этой величине:
[
d p_{платф} = - d p_{воздуха} = - \mu dt (v - u)
]
Шаг 4. Закон сохранения импульса и его дифференциальное уравнение
Общий импульс системы:
[
p(t) = m_{платф}(t) v(t)
]
где ( m_{платф}(t) \approx M ), так как масса воздуха, только поглощенная, вносит очень небольшое изменение, и система — внутри — быстро выбрасывает воздух, поэтому можно считать, что:
[
\frac{d}{dt} \left[ m_{платф} v(t) \right] = - \mu (v - u)
]
Так как масса воздуха перестает увеличиваться после поглощения, и мы моделируем систему как:
[
M \frac{d v}{dt} = - \mu (v - u)
]
Это простое линейное дифференциальное уравнение.
Шаг 5. Решение дифференциального уравнения
Получаем:
[
M \frac{d v}{dt} = - \mu v + \mu u
]
или
[
\frac{d v}{dt} + \frac{\mu}{M} v = \frac{\mu}{M} u
]
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Решение:
Общий вид:
[
v(t) = v_{частное} + v_{об}
]
Частное решение:
[
v_{частное} = u
]
Общее решение однородного уравнения:
[
v_{о}(t) = C e^{-\frac{\mu}{M} t}
]
Учитывая начальные условия (( v(0) = 0 )),
[
v(t) = u + \left( v(0) - u \right) e^{-\frac{\mu}{M} t} = u \left( 1 - e^{-\frac{\mu}{M} t} \right)
]
Ответ 1:
[
\boxed{
\textbf{а) Ускорение платформы в начальный момент времени}
}
Это \ уравнение похоже, но нужно найти мгновенное ускорение:
[
a(t) = \frac{d v}{dt} = \frac{\mu}{M} (u - v(t))
]
В начальный момент:
[
v(0) = 0
]
поэтому,
[
a(0) = \frac{\mu}{M} (u - 0) = \frac{\mu u}{M}
]
Подставим числовые значения:
[
a(0) = \frac{2,\text{кг/с} \times 50,\text{м/с}}{100,\text{кг}} = \frac{100}{100} = 1,\text{м/с}^2
]
Ответ 2: Скорость платформы ( v(t) )
[
\boxed{
v(t) = u \left( 1 - e^{-\frac{\mu}{M} t} \right)
}
]
Подставим числовые значения:
[
v(t) = 50 \left( 1 - e^{-\frac{2}{100} t} \right) = 50 \left( 1 - e^{-\frac{t}{50}} \right)
]
Ответ 3: Расстояние, пройденное за ( t = 10,\text{с} )
Расстояние при неравномерном движении:
[
S(t) = \int_0^{t} v(\tau) d\tau
]
Подставим выражение для ( v(\tau) ):
[
S(t) = \int_0^{t} 50 \left( 1 - e^{-\frac{\tau}{50}} \right) d\tau
]
Посчитаем интеграл:
[
S(t) = 50 \int_0^{t} d\tau - 50 \int_0^{t} e^{-\frac{\tau}{50}} d\tau
]
Первый интеграл:
[
50 \cdot t
]
Второй интеграл:
[
\int e^{-\frac{\tau}{50}} d\tau = -50 e^{-\frac{\tau}{50}}
]
Следовательно,
[
S(t) = 50 t - 50 \left[ -50 e^{-\frac{\tau}{50}} \right]_0^t = 50 t + 2500 \left( e^{-\frac{0}{50}} - e^{-\frac{t}{50}} \right)
]
Так как ( e^{0} = 1 ):
[
S(t) = 50 t + 2500 (1 - e^{-\frac{t}{50}})
]
Определим для ( t=10,\text{с} ):
[
S(10) = 50 \times 10 + 2500 (1 - e^{-10/50}) = 500 + 2500 (1 - e^{-0.2})
]
Посчитаем ( e^{-0.2} ):
[
e^{-0.2} \approx 0.8187
]
Тогда:
[
S(10) \approx 500 + 2500 \times (1 - 0.8187) = 500 + 2500 \times 0.1813 \approx 500 + 453.25 = 953.25,\text{м}
]
Итоговые ответы:
а) В начальный момент ускорение платформы:
[
\boxed{
a(0) = 1,\text{м/с}^2
}
]
б) Скорость как функция времени:
[
\boxed{
v(t) = 50 \left( 1 - e^{-\frac{t}{50}} \right),\text{м/с}
}
]
в) Пройденное расстояние за 10 секунд:
[
\boxed{
S(10) \approx 953,\text{м}
}
]
Если нужны дополнительные пояснения – обращайтесь!
