Горизонтальная платформа массой `M = 100 кг` стоит на гладком льду. На платформе укреплен мощный вентилятор. В начальный момент времени платформа покоится. Вентилятор начинает…

Давайте подробно разберем задачу и пошагово решим каждую часть.

Дано:

• Масса платформы: \( M = 100\,\text{кг} \)
• Начальный покой: \( v_0 = 0 \)
• Масса воздуха, поглощаемого за секунду: \( \mu = 2\,\text{кг/с} \)
• Скорость выбрасываемого воздуха относительно платформы: \( u = 50\,\text{м/с} \)
• Время, для расчетов: \( t \)

Перед началом отметим важный момент: масса платформы меняется из-за поглощения и выброса воздуха, причём воздух сразу выбрасывается, и масса платформы безвозвратно теряет воздух. Считаем, что полностью удерживаем массу платформы \( M \) (то есть, без учета массы поглощенного воздуха) — по условию, "забираемый воздух сразу выбрасывается".

---

Шаг 1. Внутренняя система и закон сохранения импульса

Так как платформа не испытывает внешних горизонтальных сил, внутри системы "платформа + воздушный поток" сохраняется импульс.

Обозначим:

• \( v(t) \) — скорость платформы в момент времени \( t \).
• \( m(t) \) — масса воздуха, поглощенного за время \( t \): \( m(t) = \mu t \).

Пока платформа поглощает воздух и выбрасывает его, масса системы влияет на ее импульс.

---

Шаг 2. Расчет изменения импульса

За малый промежуток времени \( dt \):

• За это время платформа захватывает воздух массой \( \mu\,dt \).
• Этот воздух, находясь внутри платформы, выбрасывается назад со скоростью \( u \) относительно платформы.

Обратите внимание:

• Скорость воздуха относительно земли (по условию): \( v_{воздуха} = v(t) - u \).

---

Шаг 3. Вычисление изменения импульса системы

В момент времени \( t \) у платформы:

• Импульс: \( p(t) = m_{платф} \cdot v(t) \), где \( m_{платф} = M + m(t) \). Однако, поскольку воздух сразу выбрасывается, его масса не увеличивает массу платформы в краткосрочной мере, а просто передается как внутренний поток.
• В системе "платформа + воздух" внутренний обмен массой и импульсом — важный момент: изменение импульса связано с выбросом воздуха.

За счёт выброса воздуха:

• Воздух массой \( dm = \mu dt \) выбрасывается назад со скоростью относительно земли:
  \[ v_{воздуха} = v(t) - u \]

• Внутренний поток импульса:
  \[ d p_{воздуха} = dm \cdot v_{воздуха} = \mu dt (v - u) \]

• Поскольку воздух выбрасывается, платформа теряет импульс равной этой величине:

\[ d p_{платф} = - d p_{воздуха} = - \mu dt (v - u) \]

---

Шаг 4. Закон сохранения импульса и его дифференциальное уравнение

Общий импульс системы:

\[ p(t) = m_{платф}(t) v(t) \]

где \( m_{платф}(t) \approx M \), так как масса воздуха, только поглощенная, вносит очень небольшое изменение, и система — внутри — быстро выбрасывает воздух, поэтому можно считать, что:

\[ \frac{d}{dt} \left[ m_{платф} v(t) \right] = - \mu (v - u) \]

Так как масса воздуха перестает увеличиваться после поглощения, и мы моделируем систему как:

\[ M \frac{d v}{dt} = - \mu (v - u) \]

Это простое линейное дифференциальное уравнение.

---

Шаг 5. Решение дифференциального уравнения

Получаем:

\[ M \frac{d v}{dt} = - \mu v + \mu u \]

или

\[ \frac{d v}{dt} + \frac{\mu}{M} v = \frac{\mu}{M} u \]

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решение:

• Общий вид:
  \[ v(t) = v_{частное} + v_{об} \]

• Частное решение:
  \[ v_{частное} = u \]

• Общее решение однородного уравнения:
  \[ v_{о}(t) = C e^{-\frac{\mu}{M} t} \]

• Учитывая начальные условия (\( v(0) = 0 \)),

\[ v(t) = u + \left( v(0) - u \right) e^{-\frac{\mu}{M} t} = u \left( 1 - e^{-\frac{\mu}{M} t} \right) \]

---

Ответ 1:

\[ \boxed{ \textbf{а) Ускорение платформы в начальный момент времени} } Это \ уравнение похоже, но нужно найти мгновенное ускорение: \[ a(t) = \frac{d v}{dt} = \frac{\mu}{M} (u - v(t)) \]

В начальный момент:

\[ v(0) = 0 \]

поэтому,

\[ a(0) = \frac{\mu}{M} (u - 0) = \frac{\mu u}{M} \]

Подставим числовые значения:

\[ a(0) = \frac{2\,\text{кг/с} \times 50\,\text{м/с}}{100\,\text{кг}} = \frac{100}{100} = 1\,\text{м/с}^2 \]

---

Ответ 2: Скорость платформы \( v(t) \)

\[ \boxed{ v(t) = u \left( 1 - e^{-\frac{\mu}{M} t} \right) } \]

Подставим числовые значения:

\[ v(t) = 50 \left( 1 - e^{-\frac{2}{100} t} \right) = 50 \left( 1 - e^{-\frac{t}{50}} \right) \]

---

Ответ 3: Расстояние, пройденное за \( t = 10\,\text{с} \)

Расстояние при неравномерном движении:

\[ S(t) = \int_0^{t} v(\tau) d\tau \]

Подставим выражение для \( v(\tau) \):

\[ S(t) = \int_0^{t} 50 \left( 1 - e^{-\frac{\tau}{50}} \right) d\tau \]

Посчитаем интеграл:

\[ S(t) = 50 \int_0^{t} d\tau - 50 \int_0^{t} e^{-\frac{\tau}{50}} d\tau \]

Первый интеграл:

\[ 50 \cdot t \]

Второй интеграл:

\[ \int e^{-\frac{\tau}{50}} d\tau = -50 e^{-\frac{\tau}{50}} \]

Следовательно,

\[ S(t) = 50 t - 50 \left[ -50 e^{-\frac{\tau}{50}} \right]_0^t = 50 t + 2500 \left( e^{-\frac{0}{50}} - e^{-\frac{t}{50}} \right) \]

Так как \( e^{0} = 1 \):

\[ S(t) = 50 t + 2500 (1 - e^{-\frac{t}{50}}) \]

Определим для \( t=10\,\text{с} \):

\[ S(10) = 50 \times 10 + 2500 (1 - e^{-10/50}) = 500 + 2500 (1 - e^{-0.2}) \]

Посчитаем \( e^{-0.2} \):

\[ e^{-0.2} \approx 0.8187 \]

Тогда:

\[ S(10) \approx 500 + 2500 \times (1 - 0.8187) = 500 + 2500 \times 0.1813 \approx 500 + 453.25 = 953.25\,\text{м} \]

---

Итоговые ответы:

а) В начальный момент ускорение платформы:
\[ \boxed{ a(0) = 1\,\text{м/с}^2 } \]

б) Скорость как функция времени:
\[ \boxed{ v(t) = 50 \left( 1 - e^{-\frac{t}{50}} \right)\,\text{м/с} } \]

в) Пройденное расстояние за 10 секунд:
\[ \boxed{ S(10) \approx 953\,\text{м} } \]

Если нужны дополнительные пояснения – обращайтесь!