Реши

Конечно! Вот подробное решение выбранной задачи из задания по алгебре для 8 класса, которая включает преобразование дробей, их сумму, разность, умножение, деление и возведение в степень.

1. Сложение и вычитание дробей

Рассмотрим пример:
\(\frac{16}{x-4} - \frac{3}{x+4}\)

Шаг 1: Найдём общий знаменатель.
Общий знаменатель: \((x-4)(x+4) = x^2 - 16\)

Шаг 2: Приведём дроби к общему знаменателю: \[ \frac{16}{x-4} = \frac{16(x+4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{16x + 64}{x^2 - 16} \] \[ \frac{3}{x+4} = \frac{3(x-4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{3x - 12}{x^2 - 16} \]

Шаг 3: Выполняем вычитание: \[ \frac{16x + 64}{x^2 - 16} - \frac{3x - 12}{x^2 - 16} = \frac{(16x + 64) - (3x - 12)}{x^2 - 16} \]

Шаг 4: Раскроем скобки в числителе: \[ (16x + 64) - (3x - 12) = 16x + 64 - 3x + 12 = (16x - 3x) + (64 + 12) = 13x + 76 \]

Ответ: \[ \boxed{\frac{13x + 76}{x^2 - 16}} \]

2. Умножение дробей

Пример:
\(\frac{2a + 1}{a^2 - 4}\) умножить на \(\frac{a + 3}{a^2 + 2a}\)

Шаг 1: Выполняем умножение числителей и знаменателей: \[ \frac{2a + 1}{a^2 - 4} \times \frac{a + 3}{a^2 + 2a} \]

Шаг 2: Разложим знаменатели и числители:

• \(a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)\)
• \(a^2 + 2a = a(a + 2)\)

Шаг 3: Запишем выражение: \[ \frac{2a + 1}{(a - 2)(a + 2)} \times \frac{a + 3}{a(a + 2)} \]

Шаг 4: Перемножим: \[ \frac{(2a + 1)(a + 3)}{(a - 2)(a + 2) \times a(a + 2)} \]

Шаг 5: Знаменатель можно упростить, так как \(a + 2\) есть в обоих множителях: \[ (a + 2) \times (a + 2) = (a + 2)^2 \] И итог: \[ \frac{(2a + 1)(a + 3)}{(a - 2)(a + 2)^2 \times a} \]

3. Деление дробей

Пример:
\(\frac{3x}{x+1}\) делить на \(\frac{2x}{x-1}\)

Шаг 1: Деление — это умножение на обратную дробь: \[ \frac{3x}{x+1} \div \frac{2x}{x-1} = \frac{3x}{x+1} \times \frac{x-1}{2x} \]

Шаг 2: Перекрёстное сокращение:

• \(3x\) и \(2x\): \(x\) сокращается, остается \(3/2\),
• Нет общих множителей у дробей в числителе и в знаменателе.

Шаг 3: Перемножение: \[ \frac{3x}{x+1} \times \frac{x-1}{2x} = \frac{3x (x-1)}{(x+1) \times 2x} \] Сократим \(x\) в числителе и знаменателе: \[ =\frac{3 (x-1)}{2 (x+1)} \]

Ответ: \[ \boxed{\frac{3(x-1)}{2(x+1)}} \]

4. Возведение в степень

Пример:
\(\left(\frac{2a + 3}{a - 1}\right)^2\)

Шаг 1: Возводим числитель и знаменатель в квадрат: \[ \frac{(2a + 3)^2}{(a - 1)^2} \]

Шаг 2: Раскроем квадраты (формула \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)):

• Числитель: \[ (2a + 3)^2 = (2a)^2 + 2 \times 2a \times 3 + 3^2 = 4a^2 + 12a + 9 \]
• Знаменатель: \[ (a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1 \]

Ответ: \[ \boxed{\frac{4a^2 + 12a + 9}{a^2 - 2a + 1}} \]

Если нужно рассматривать конкретные задания или выполнять более сложные операции — скажите, я подготовлю подробное решение!