Точки L, E, F, T – последовательные вершины параллелограмма. На отрезке LT отмечена точка N такая, что LN : NT = 3 : 2. На отрезке LF отмечена точка O такая, что LO : OF = 2 : 3.…

Давайте подробно разберем задачу и последовательно найдем площадь четырехугольника LEGO.

---

Шаг 1. Введение координат для удобства

Обозначим вершины параллелограмма, чтобы работать с координатами.

Пусть:

• \( L = (0, 0) \),
• \( E = (a, 0) \),
• \( F = (a, b) \),
• \( T = (0, b) \).

Площадь параллелограмма \( LEFT \) равна 100:

\[ \text{Площадь} = a \times b = 100. \]

---

Шаг 2. Определение точек N и O

Точка N — на отрезке \( LT \), делит его в соотношении \( LN : NT = 3 : 2 \).

• Отрезок \( LT \) — от \( (0, 0) \) до \( (0, b) \).

Обозначим:

\[ N = (0, y_N), \]

где

\[ \frac{|LN|}{|NT|} = \frac{3}{2}. \]

Длина \( LT = b \). Точка \( N \) делит отрезок так, что

\[ y_N = \frac{3}{3+2} \times b = \frac{3}{5}b. \]

Итак,

\[ \boxed{N = (0, \frac{3}{5}b)}. \]

---

Точка O — на отрезке \( LF \), делит его в соотношении \( LO : OF = 2 : 3 \).

• \( L = (0,0) \),
• \( F = (a, b) \).

Обозначим точку \( O = (x_O, y_O) \):

по формуле деления отрезка в отношении \( 2:3 \):

\[ O = \frac{3 \times L + 2 \times F}{2 + 3} = \frac{3 \times (0, 0) + 2 \times (a, b)}{5}. \]

Следовательно,

\[ O = \left(\frac{2a}{5}, \frac{2b}{5}\right). \]

---

Шаг 3. Уравнение прямой \( NO \)

Точки:

• \( N = \left( 0, \frac{3b}{5} \right) \),
• \( O = \left( \frac{2a}{5}, \frac{2b}{5} \right) \).

Нахождение уравнения \( NO \).

Координаты векторного направления:

\[ \vec{NO} = \left( \frac{2a}{5} - 0, \frac{2b}{5} - \frac{3b}{5} \right) = \left( \frac{2a}{5}, -\frac{b}{5} \right). \]

Уравнение прямой:

Параметрическая форма:

\[ x = 0 + t \left( \frac{2a}{5} \right), \] \[ y = \frac{3b}{5} + t \left( -\frac{b}{5} \right). \]

Или, убрав параметр:

\[ x = \frac{2a}{5} t, \] \[ y = \frac{3b}{5} - \frac{b}{5} t. \]

Выразим \( t \):

\[ t = \frac{5x}{2a}. \]

Подставим во второе уравнение:

\[ y = \frac{3b}{5} - \frac{b}{5} \times \frac{5x}{2a} = \frac{3b}{5} - \frac{b x}{2a}. \]

Обратим:

\[ \boxed{ y = \frac{3b}{5} - \frac{b}{2a} x }. \]

---

Шаг 4. Пересечение \( NO \) с отрезком \( EF \)

Обозначения:

• \( E = (a, 0) \),
• \( F = (a, b) \).

Отрезок \( EF \) — вертикальный, все точки имеют \( x = a \).

Площадь задач — 100, а \( a b=100 \).

Подставим \( x = a \) в уравнение \( NO \):

\[ y = \frac{3b}{5} - \frac{b}{2a} \times a = \frac{3b}{5} - \frac{b}{2} = \frac{3b}{5} - \frac{b}{2}. \]

Общий знаменатель: 10,

\[ \frac{6b}{10} - \frac{5b}{10} = \frac{b}{10}. \]

Итак,

\[ \boxed{ G = (a, \frac{b}{10}) }. \]

Это точка пересечения \( G \).

---

Шаг 5. Построение многоугольника \( LEGO \)

• \( L = (0, 0) \),
• \( E = (a, 0) \),
• \( G = (a, b/10) \),
• \( O = \left( \frac{2a}{5}, \frac{2b}{5} \right) \).

Обозначим \( O \) как вершину — она внутри фигуры.

Многоугольник \( LEGO \) — это четырёхугольник с вершинами:

\[ L(0, 0), \quad E(a, 0), \quad G(a, \frac{b}{10}), \quad O \left(\frac{2a}{5}, \frac{2b}{5}\right). \]

Нам нужно найти площадь этого четырёхугольника.

---

Шаг 6. Площадь через формулу Гаусса

Порядок вершин:

\[ L(0,0), \quad E(a, 0), \quad G(a, \frac{b}{10}), \quad O\left(\frac{2a}{5}, \frac{2b}{5}\right). \]

Формула площади:

\[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^n (x_i y_{i+1} - y_i x_{i+1}) \right|. \]

Здесь:

\[ (x_1, y_1) = (0, 0), \] \[ (x_2, y_2) = (a, 0), \] \[ (x_3, y_3) = \left( a, \frac{b}{10} \right), \] \[ (x_4, y_4) = \left( \frac{2a}{5}, \frac{2b}{5} \right). \] и вершин повторять не нужно, поскольку это — многоугольник.

Посчитаем:

\[ S = \frac{1}{2} |(0 \times 0 + a \times \frac{b}{10} + a \times \frac{2b}{5} + \frac{2a}{5} \times 0) - (0 \times a + 0 \times a + \frac{b}{10} \times \frac{2a}{5} + \frac{2b}{5} \times 0)|, \]

\[ S = \frac{1}{2} | \left( 0 + \frac{a b}{10} + a \times \frac{2b}{5} + 0 \right) - \left( 0 + 0 + \frac{b}{10} \times \frac{2a}{5} + 0 \right) |. \]

Вычислим каждое выражение:

Первое:

\[ \frac{a b}{10} + a \times \frac{2b}{5} = \frac{a b}{10} + \frac{2 a b}{5}. \]

Общий знаменатель 10:

\[ \frac{a b}{10} + \frac{4 a b}{10} = \frac{5 a b}{10} = \frac{a b}{2}. \]

Второе:

\[ \frac{b}{10} \times \frac{2a}{5} = \frac{2 a b}{50} = \frac{a b}{25}. \]

Теперь:

\[ S = \frac{1}{2} \left| \frac{a b}{2} - \frac{a b}{25} \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{25 a b}{50} - \frac{2 a b}{50} \right| = \frac{1}{2} \times \frac{23 a b}{50} = \frac{23 a b}{100}. \]

По условию площадь параллелограмма: \( a b = 100 \).

Тогда площадь многоугольника \( LEGO \):

\[ S_{LEGO} = \frac{23}{100} \times 100 = 23. \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Площадь четырёхугольника } LEGO = 23. } \]

---

Если нужно, я могу еще более подробно объяснить каждый шаг.