1) Иррациональные числа и выражения Задание 1. Найдите значение выражения: 1 при a = 3 sqrt((16a ^ 14)/(a ^ 8))
Конечно! Давайте подробно разберём задание.
Задача:
Найти значение выражения при \( a=3 \), если выражение равно:
\[
1 \; при \; a = 3 \sqrt{\frac{16a^{14}}{a^{8}}}
\]
Здесь, судя по формулировке, означает, что нужно найти значение выражения:
\[
1 \times \sqrt{\frac{16a^{14}}{a^{8}}}
\]
или — более вероятно — вычислить значение выражения:
\[
\sqrt{\frac{16a^{14}}{a^{8}}}
\]
(обычно в подобных задачах именно так: вначале стоит выражение под знаком корня, а 1 — это просто знак умножения, который ничего не меняет).
Шаг 1: Упростим радиатор под корнем
Рассмотрим внутреннее выражение:
\[
\frac{16a^{14}}{a^{8}}
\]
Используем свойства степеней:
\[
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}
\]
и число 16 — это \( 16 = 2^4 \).
Следовательно:
\[
\frac{16a^{14}}{a^{8}} = 16 \times a^{14-8} = 16a^{6}
\]
Шаг 2: Выполним извлечение корня
Теперь выражение под корнем:
\[
\sqrt{16a^{6}}
\]
Можем вынести корень из каждого множителя отдельно:
\[
\sqrt{16a^{6}} = \sqrt{16} \times \sqrt{a^{6}}
\]
Значит:
\[
= 4 \times \sqrt{a^{6}}
\]
Чтобы упростить \(\sqrt{a^{6}}\), используем свойство:
\[
\sqrt{a^{6}} = a^{6/2} = a^{3}
\]
(так как \(\sqrt{a^{n}} = a^{n/2}\), при условии, что \(a \ge 0\), а также \(a\) — в данном случае число, поэтому всё нормально).
Шаг 3: Подставляем значение \(a=3\)
Теперь получаем:
\[
4 \times a^{3} = 4 \times 3^{3} = 4 \times 27 = 108
\]
Итог:
Ответ: \(\boxed{108}\)
Ответ: При \(a=3\), значение выражения равно 108.
