Пусть (Eξ1)2Dξ1=2 . Будем искать оценку θ^n для θ=Eξ1 в виде μ∑i=1nxi для μ∈[0,1] . Найдите, при каком μ значение функции риска Rθ^n(θ) будет наименьшим (считается, что θ…

Разберем задачу по шагам.

Условие задачи

У нас есть оценка: \[ \hat{\theta}_n = \mu \sum_{i=1}^n x_i, \] где \(\mu \in [0,1]\), а \(\theta = E\xi_1\).

Нам нужно найти такое значение \(\mu\), при котором функция риска \( R_{\theta}^n(\hat{\theta}_n) \) будет минимальной для \( n=10 \).

Шаг 1. Определение оценки и её свойств

Оценка задается как линейная комбинация искомого параметра \(\theta\): \[ \hat{\theta}_n = \mu \sum_{i=1}^n x_i. \]

Поскольку \( x_i \) — случайные величины, предполагаем, что они независимы и одинаково распределены с математическим ожиданием \( \theta = E[\xi_1] \).

Шаг 2. Определение функции риска

Для задач параметрической оценки, часто используют функцию квадратичного риска: \[ R_{\theta}^n(\hat{\theta}_n) = E[(\hat{\theta}_n - \theta)^2]. \]

Подставим выражение для \(\hat{\theta}_n\): \[ R_{\theta}^n(\hat{\theta}_n) = E[(\mu \sum_{i=1}^n x_i - \theta)^2]. \]

Раскроем скобки: \[ = E\left[\left(\mu \sum_{i=1}^n x_i - \theta \right)^2\right]. \]

Пусть \(\text{Var}(\xi_1) = \sigma^2\). Тогда, поскольку \(x_i\) — независимы и одинаково распределены, \[ E\left[\sum_{i=1}^n x_i\right] = n \theta, \] \[ \text{Var}\left(\sum_{i=1}^n x_i\right) = n \sigma^2. \]

Тогда: \[ R_{\theta}^n(\hat{\theta}_n) = E\left[\left(\mu \sum_{i=1}^n x_i - \theta\right)^2\right]. \]

Это расширяется по формуле: \[ = \text{Var}(\mu \sum_{i=1}^n x_i) + \left(E[\mu \sum_{i=1}^n x_i] - \theta\right)^2. \]

Подставляя: \[ = \mu^2 \text{Var}\left(\sum_{i=1}^n x_i\right) + (\mu n \theta - \theta)^2, \] \[ = \mu^2 n \sigma^2 + (\mu n \theta - \theta)^2. \]

Шаг 3. Минимизация риска по \(\mu\)

Выразим функцию риска: \[ R(\mu) = \mu^2 n \sigma^2 + (\mu n \theta - \theta)^2. \]

Чтобы найти минимальное \(\mu\), возьмем производную и приравняем к нулю: \[ \frac{dR}{d\mu} = 2 \mu n \sigma^2 + 2 (\mu n \theta - \theta) \cdot n \theta = 0. \]

Раскроем: \[ 2 \mu n \sigma^2 + 2 n \theta (\mu n \theta - \theta) = 0. \]

Разделим на 2: \[ \mu n \sigma^2 + n \theta (\mu n \theta - \theta) = 0. \]

Раскроем скобки: \[ \mu n \sigma^2 + n \theta \mu n \theta - n \theta^2 = 0, \] \[ \mu n \sigma^2 + \mu n^2 \theta^2 = n \theta^2. \]

Вынесем \(\mu\): \[ \mu (n \sigma^2 + n^2 \theta^2) = n \theta^2, \] \[ \mu = \frac{n \theta^2}{n \sigma^2 + n^2 \theta^2}. \]

Упростим дробь: \[ \mu = \frac{\theta^2}{\sigma^2 + n \theta^2}. \]

Шаг 4. Подставим \( n=10 \)

Ответ: \[ \boxed{ \mu = \frac{\theta^2}{\sigma^2 + 10 \theta^2} } \]

Значение \(\mu\) зависит от истинного \(\theta\) и дисперсии \(\sigma^2\). Если в задаче не даны \(\sigma^2\) и \(\theta\), то при использовании конкретных значений или предположениях, нужно их знать.

Итог:

Ответ:

\[ \boxed{ \mu = \frac{\theta^2}{\sigma^2 + 10 \theta^2} } \]

Если в условии есть конкретные параметры \(\theta\) и \(\sigma^2\), подставьте их, чтобы получить числовое значение.