Разберем задачу по шагам.
Условие задачи
У нас есть оценка:
[
\hat{\theta}n = \mu \sum{i=1}^n x_i,
]
где (\mu \in [0,1]), а (\theta = E\xi_1).
Нам нужно найти такое значение (\mu), при котором функция риска ( R_{\theta}^n(\hat{\theta}_n) ) будет минимальной для ( n=10 ).
Шаг 1. Определение оценки и её свойств
Оценка задается как линейная комбинация искомого параметра (\theta):
[
\hat{\theta}n = \mu \sum{i=1}^n x_i.
]
Поскольку ( x_i ) — случайные величины, предполагаем, что они независимы и одинаково распределены с математическим ожиданием ( \theta = E[\xi_1] ).
Шаг 2. Определение функции риска
Для задач параметрической оценки, часто используют функцию квадратичного риска:
[
R_{\theta}^n(\hat{\theta}_n) = E[(\hat{\theta}_n - \theta)^2].
]
Подставим выражение для (\hat{\theta}n):
[
R{\theta}^n(\hat{\theta}n) = E[(\mu \sum{i=1}^n x_i - \theta)^2].
]
Раскроем скобки:
[
= E\left[\left(\mu \sum_{i=1}^n x_i - \theta \right)^2\right].
]
Пусть (\text{Var}(\xi_1) = \sigma^2). Тогда, поскольку (x_i) — независимы и одинаково распределены,
[
E\left[\sum_{i=1}^n x_i\right] = n \theta,
]
[
\text{Var}\left(\sum_{i=1}^n x_i\right) = n \sigma^2.
]
Тогда:
[
R_{\theta}^n(\hat{\theta}n) = E\left[\left(\mu \sum{i=1}^n x_i - \theta\right)^2\right].
]
Это расширяется по формуле:
[
= \text{Var}(\mu \sum_{i=1}^n x_i) + \left(E[\mu \sum_{i=1}^n x_i] - \theta\right)^2.
]
Подставляя:
[
= \mu^2 \text{Var}\left(\sum_{i=1}^n x_i\right) + (\mu n \theta - \theta)^2,
]
[
= \mu^2 n \sigma^2 + (\mu n \theta - \theta)^2.
]
Шаг 3. Минимизация риска по (\mu)
Выразим функцию риска:
[
R(\mu) = \mu^2 n \sigma^2 + (\mu n \theta - \theta)^2.
]
Чтобы найти минимальное (\mu), возьмем производную и приравняем к нулю:
[
\frac{dR}{d\mu} = 2 \mu n \sigma^2 + 2 (\mu n \theta - \theta) \cdot n \theta = 0.
]
Раскроем:
[
2 \mu n \sigma^2 + 2 n \theta (\mu n \theta - \theta) = 0.
]
Разделим на 2:
[
\mu n \sigma^2 + n \theta (\mu n \theta - \theta) = 0.
]
Раскроем скобки:
[
\mu n \sigma^2 + n \theta \mu n \theta - n \theta^2 = 0,
]
[
\mu n \sigma^2 + \mu n^2 \theta^2 = n \theta^2.
]
Вынесем (\mu):
[
\mu (n \sigma^2 + n^2 \theta^2) = n \theta^2,
]
[
\mu = \frac{n \theta^2}{n \sigma^2 + n^2 \theta^2}.
]
Упростим дробь:
[
\mu = \frac{\theta^2}{\sigma^2 + n \theta^2}.
]
Шаг 4. Подставим ( n=10 )
Ответ:
[
\boxed{
\mu = \frac{\theta^2}{\sigma^2 + 10 \theta^2}
}
]
Значение (\mu) зависит от истинного (\theta) и дисперсии (\sigma^2). Если в задаче не даны (\sigma^2) и (\theta), то при использовании конкретных значений или предположениях, нужно их знать.
Итог:
Ответ:
[
\boxed{
\mu = \frac{\theta^2}{\sigma^2 + 10 \theta^2}
}
]
Если в условии есть конкретные параметры (\theta) и (\sigma^2), подставьте их, чтобы получить числовое значение.
