установить соответствии
Давайте рассмотрим каждое из приведённых выражений и выясним, какое из них равно \( \tan \alpha + \tan \beta \).
Для этого воспользуемся тригонометрическими формулами:
Теорема для суммы тангенсов: \[ \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \]
Косинус произведения: \[ \cos \alpha \cos \beta \]
Сумма синусов: \[ \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \]
Формула для сумму произведений: \[ \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin (\alpha + \beta) \]
Теперь, чтобы установить соответствие, посмотрим на каждое из предложенных выражений:
Вариант А: \( \tg \alpha + \tg \beta \)
- Это и есть искомое выражение — сумма тангенсов.
Ответ: соответствует варіанту 1 — \( \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \).
Это так как, из формулы:
\[
\tan (\alpha + \beta) = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}
\]
и
\[
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\]
но нам нужно не это, а сумму тангенсов, которая равна \(\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}\); однако, по формуле для суммы синусов, можем выразить \(\tan \alpha + \tan \beta\) через синусы и косинусы.
Вариант B: \( \cos \alpha \cdot \cos \beta \)
- Это произведение косинусов, и оно не соответствует сумме тангенсов.
Вариант C: \( \sin (\alpha + \beta) \)
- Известная формула суммы синусов:
\[ \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \]
- Она не равна сумме тангенсов.
Вариант D: \( \sin \alpha \cdot \cos \beta \)
- Также выражение для суммы синусов, но отдельно для \(\sin \alpha\) и \(\cos \beta\).
Теперь посмотрим внимательно — что же из приведённых соответствует \(\tan \alpha + \tan \beta\)?
Рассмотрим вариант 1:
\[ \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \]
Используя формулу суммы синусов:
\[ \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \]
Получим:
\[ \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} \]
Разделим числитель на каждый член:
\[ = \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} \]
\[ = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \tan \alpha + \tan \beta \]
Получили искомое! — это exactly равно \( \tan \alpha + \tan \beta \).
Ответ:
Вариант 1 — \(\displaystyle \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}\) — соответствует \(\tan \alpha + \tan \beta\).
Итоговая соответствие:
- A — 1
- B — не подходит
- C — не подходит
- D — не подходит
Если нужно ответить в виде выбора, то:
Ответ: Вариант 1.
