Установить соответствии

Давайте рассмотрим каждое из приведённых выражений и выясним, какое из них равно \( \tan \alpha + \tan \beta \). Для этого воспользуемся тригонометрическими формулами: 1. **Теорема для суммы тангенсов:** \[ \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \] 2. **Косинус произведения:** \[ \cos \alpha \cos \beta \] 3. **Сумма синусов:** \[ \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \] 4. **Формула для сумму произведений:** \[ \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin (\alpha + \beta) \] --- Теперь, чтобы установить соответствие, посмотрим на каждое из предложенных выражений: **Вариант А:** \( \tg \alpha + \tg \beta \) - Это и есть искомое выражение — сумма тангенсов. **Ответ:** соответствует **варіанту 1** — \( \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \). Это так как, из формулы: \[ \tan (\alpha + \beta) = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)} \] и \[ \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \] но нам нужно не это, а сумму тангенсов, которая равна \(\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}\); однако, по формуле для суммы синусов, можем выразить \(\tan \alpha + \tan \beta\) через синусы и косинусы. **Вариант B:** \( \cos \alpha \cdot \cos \beta \) - Это произведение косинусов, и оно не соответствует сумме тангенсов. **Вариант C:** \( \sin (\alpha + \beta) \) - Известная формула суммы синусов: \[ \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \] - Она не равна сумме тангенсов. **Вариант D:** \( \sin \alpha \cdot \cos \beta \) - Также выражение для суммы синусов, но отдельно для \(\sin \alpha\) и \(\cos \beta\). --- Теперь посмотрим внимательно — что же из приведённых соответствует \(\tan \alpha + \tan \beta\)? **Рассмотрим вариант 1:** \[ \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \] Используя формулу суммы синусов: \[ \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \] Получим: \[ \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} \] Разделим числитель на каждый член: \[ = \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} \] \[ = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \tan \alpha + \tan \beta \] **Получили искомое!** — это exactly равно \( \tan \alpha + \tan \beta \). --- **Ответ:** **Вариант 1** — \(\displaystyle \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}\) — соответствует \(\tan \alpha + \tan \beta\). --- ### Итоговая соответствие: - **A** — 1 - **B** — не подходит - **C** — не подходит - **D** — не подходит --- Если нужно ответить в виде выбора, то: **Ответ:** Вариант 1.