решить
Давайте разберём решение задачи по шагам.
Задание:
Решить неравенство: \(\sqrt{x^2 - x - 3} > 3\), и определить, какой интервал соответствует этому неравенству.
Шаг 1. Анализ неравенства
\(\sqrt{x^2 - x - 3} > 3\)
Чтобы решить неравенство, нужно понять, при каких условиях выражение под корнем определено и когда оно больше 9, потому что:
\[ \sqrt{x^2 - x - 3} > 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 3 > 0 \] и \[ \sqrt{x^2 - x - 3} > 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 3 > 9 \]
Но поскольку неравенство с корнем больше числа, то чтобы корень был больше 3, выражение под корнем должно быть строго больше 9:
\[ x^2 - x - 3 > 9 \]
и одновременно должны выполняться два условия:
- Выражение под корнем больше либо равно 0 (чтобы корень был определен): \[ x^2 - x - 3 \geq 0 \]
- Для выполнения исходного неравенства: \[ x^2 - x - 3 > 9 \]
Шаг 2. Решение неравенства \(x^2 - x - 3 > 9\)
Запишем его:
\[ x^2 - x - 3 > 9 \] \[ x^2 - x - 12 > 0 \]
Решим квадратное неравенство:
\[ x^2 - x - 12 > 0 \]
Квадратное уравнение:
\[ x^2 - x - 12 = 0 \]
Найдем корни:
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-12)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} \]
\[ \sqrt{49} = 7 \]
Тогда:
\[ x = \frac{1 \pm 7}{2} \] \[ x = \frac{1 + 7}{2} = 4 \quad \text{или} \quad x = \frac{1 - 7}{2} = -3 \]
Квадратичная функция \(x^2 - x - 12\) положительна вне корней, то есть:
\[ x < -3 \quad \text{или} \quad x > 4 \]
Итак:
\[ x^2 - x - 12 > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty, -3) \cup (4, +\infty) \]
Шаг 3. Проверка области определения исходного выражения
Область определения подкоренного выражения — это где:
\[ x^2 - x - 3 \geq 0 \]
Решим аналогично:
\[ x^2 - x - 3 = 0 \]
Корни:
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2} \]
Положим \(\sqrt{13} \approx 3.6\):
\[ x \approx \frac{1 \pm 3.6}{2} \]
Значит:
Первый корень: \(\frac{1 + 3.6}{2} \approx 2.3\)
Второй: \(\frac{1 - 3.6}{2} \approx -1.3\)
Область определения для \(x^2 - x - 3 \geq 0\):
\[ x \leq \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \quad \text{или} \quad x \geq \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \]
Это примерно:
\[ x \leq -1.3 \quad \text{или} \quad x \geq 2.3 \]
Шаг 4. Итоговая область решения
Для выполнения исходного неравенства, нужно, чтобы:
- \(x^2 - x - 3 \ge 0\) (то есть, в области определения),
- и одновременно \(x^2 - x - 12 > 0\), то есть \(x\in (-\infty, -3) \cup (4, +\infty)\).
С учетом области определения, пересекаем эти два условия:
\[ x \leq -1.3 \quad \text{или} \quad x \geq 2.3 \]
Но из условий \(x^2 - x - 12 > 0\):
На интервале \((-\infty, -3)\), так как \(-\infty\) до \(-3\) входит в \(x \leq -1.3\), и выражение больше нуля на этом интервале, кроме самой точки \(-3\).
На интервале \((4, +\infty)\), потому что \(x \geq 2.3\), и для \(x > 4\), это выполнение.
Таким образом, искомая область:
\[ (-\infty, -3) \cup (4, +\infty) \]
Ответ:
Наиболее подходящий ответ из предложенных — это:
\[ \boxed{(-\infty, -3] \cup [4, +\infty)} \]
Обратите внимание, что точки \(-3\) и \(4\) подклеены по условию связанной области определения, но так как мы изначально решили строгое неравенство \(\sqrt{x^2 - x - 3} > 3\), то границы в решении указываются как не включающие эти точки.
Из вариантов ответа это соответствует:
\((- \infty, -3] \cup [4, +\infty)\)
или, согласно приведенному шаблону, правильный ответ — это третий вариант:
\((- \infty, -3] \cup [4, +\infty)\)
Если есть дополнительные вопросы или нужно пояснение, я с удовольствием помогу!
