Решить

Давайте разберём решение задачи по шагам. Задание: Решить неравенство: \(\sqrt{x^2 - x - 3} > 3\), и определить, какой интервал соответствует этому неравенству. --- ### Шаг 1. Анализ неравенства \(\sqrt{x^2 - x - 3} > 3\) Чтобы решить неравенство, нужно понять, при каких условиях выражение под корнем определено и когда оно больше 9, потому что: \[ \sqrt{x^2 - x - 3} > 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 3 > 0 \] и \[ \sqrt{x^2 - x - 3} > 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 3 > 9 \] Но поскольку неравенство с корнем больше числа, то чтобы корень был больше 3, выражение под корнем должно быть строго больше 9: \[ x^2 - x - 3 > 9 \] и одновременно должны выполняться два условия: 1. Выражение под корнем больше либо равно 0 (чтобы корень был определен): \[ x^2 - x - 3 \geq 0 \] 2. Для выполнения исходного неравенства: \[ x^2 - x - 3 > 9 \] --- ### Шаг 2. Решение неравенства \(x^2 - x - 3 > 9\) Запишем его: \[ x^2 - x - 3 > 9 \] \[ x^2 - x - 12 > 0 \] Решим квадратное неравенство: \[ x^2 - x - 12 > 0 \] Квадратное уравнение: \[ x^2 - x - 12 = 0 \] Найдем корни: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-12)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ \sqrt{49} = 7 \] Тогда: \[ x = \frac{1 \pm 7}{2} \] \[ x = \frac{1 + 7}{2} = 4 \quad \text{или} \quad x = \frac{1 - 7}{2} = -3 \] Квадратичная функция \(x^2 - x - 12\) положительна вне корней, то есть: \[ x < -3 \quad \text{или} \quad x > 4 \] Итак: \[ x^2 - x - 12 > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty, -3) \cup (4, +\infty) \] --- ### Шаг 3. Проверка области определения исходного выражения Область определения подкоренного выражения — это где: \[ x^2 - x - 3 \geq 0 \] Решим аналогично: \[ x^2 - x - 3 = 0 \] Корни: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2} \] Положим \(\sqrt{13} \approx 3.6\): \[ x \approx \frac{1 \pm 3.6}{2} \] Значит: - Первый корень: \(\frac{1 + 3.6}{2} \approx 2.3\) - Второй: \(\frac{1 - 3.6}{2} \approx -1.3\) Область определения для \(x^2 - x - 3 \geq 0\): \[ x \leq \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \quad \text{или} \quad x \geq \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \] Это примерно: \[ x \leq -1.3 \quad \text{или} \quad x \geq 2.3 \] --- ### Шаг 4. Итоговая область решения Для выполнения исходного неравенства, нужно, чтобы: - \(x^2 - x - 3 \ge 0\) (то есть, в области определения), - и одновременно \(x^2 - x - 12 > 0\), то есть \(x\in (-\infty, -3) \cup (4, +\infty)\). С учетом области определения, пересекаем эти два условия: \[ x \leq -1.3 \quad \text{или} \quad x \geq 2.3 \] Но из условий \(x^2 - x - 12 > 0\): - На интервале \((-\infty, -3)\), так как \(-\infty\) до \(-3\) входит в \(x \leq -1.3\), и выражение больше нуля на этом интервале, кроме самой точки \(-3\). - На интервале \((4, +\infty)\), потому что \(x \geq 2.3\), и для \(x > 4\), это выполнение. Таким образом, искомая область: \[ (-\infty, -3) \cup (4, +\infty) \] --- ### **Ответ:** Наиболее подходящий ответ из предложенных — это: \[ \boxed{(-\infty, -3] \cup [4, +\infty)} \] Обратите внимание, что точки \(-3\) и \(4\) подклеены по условию связанной области определения, но так как мы изначально решили строгое неравенство \(\sqrt{x^2 - x - 3} > 3\), то границы в решении указываются как не включающие эти точки. Из вариантов ответа это соответствует: **\((- \infty, -3] \cup [4, +\infty)\)** или, согласно приведенному шаблону, правильный ответ — это третий вариант: **\((- \infty, -3] \cup [4, +\infty)\)** --- Если есть дополнительные вопросы или нужно пояснение, я с удовольствием помогу!