Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертежник может выполнять команду Сместиться на (a, b) (где а, в целые числа), перемещающую Чертёжника из точки с координатами (х, у) в точку с координатами (х + a, y + b). Чертежнику был дан для исполнения следующий алгоритм: Сместиться на (38, -12) Повтори № раз Сместиться на (17, 12) Сместиться на (a, b) конец Сместиться на (-16, -21) Определите минимальное натуральное значение № > 1, для которого найдутся такие значения чисел а и b, что после выполнения программы Чертежник возвратится в исходную точку?

Давайте разберёмся с задачей поэтапно. --- ### Условие задачи: - Начальная точка Чертежника: \((x, y)\), но конкретные начальные координаты не указаны, предположим, что он начинает в точке \((0, 0)\). - Команды: 1. **Сместиться на (38, -12)** 2. **Повторить № раз:** - **Сместиться на (17, 12)** - **Сместиться на (a, b)** (где \(a, b\) — целые числа) 3. **Конец** 4. **Сместиться на (-16, -21)** --- ### Что нам нужно? Определить минимальное натуральное число \(N > 1\), при котором существует пара целых чисел \((a, b)\), таких что после выполнения всей программы чертёжник возвращается в начальную точку \((0, 0)\). --- ### Пошаговый разбор: #### 1. Общее выражение координат после выполнения программы Изначально: \((0, 0)\) - После первого шага: \[ (0 + 38, 0 - 12) = (38, -12) \] - После цикла, который повторится \(N\) раз: В каждом повторе: \[ (x, y) \to (x + 17, y + 12) \] затем \[ (x, y) \to (x + a, y + b) \] Значит, после \(N\) повторов: \[ (38 + N \cdot 17 + N \cdot a,\ -12 + N \cdot 12 + N \cdot b) \] - После завершения цикла и выполнения последней команд в программе: \[ (38 + N \cdot 17 + N \cdot a,\ -12 + N \cdot 12 + N \cdot b) \] - Затем выполняется команда: \[ \text{Сместиться на } (-16, -21) \] Итоговая позиция: \[ (38 + N \cdot 17 + N \cdot a - 16,\ -12 + N \cdot 12 + N \cdot b - 21) \] --- ### 2. Условие возврата в начальную точку \((0, 0)\) Чтобы возвращение было в начальную точку, должно выполняться: \[ \begin{cases} 38 + N \cdot 17 + N \cdot a - 16 = 0 \\ -12 + N \cdot 12 + N \cdot b - 21 = 0 \end{cases} \] Объединим уравнения: \[ \begin{cases} (38 - 16) + N (17 + a) = 0 \Rightarrow 22 + N (17 + a) = 0 \\ (-12 - 21) + N (12 + b) = 0 \Rightarrow -33 + N (12 + b) = 0 \end{cases} \] ### 3. Решение систем уравнений Представим: \[ \begin{cases} N (17 + a) = -22 \quad (1) \\ N (12 + b) = 33 \quad (2) \end{cases} \] --- ### 4. Анализ условий - \(a, b\) — целые числа. - \(N\) — натуральное число > 1. - \(N\) делит левые части уравнений (так как правая часть — целое), будем рассуждать о делимости: Из уравнений: \[ a = \frac{-22}{N} - 17, \quad b = \frac{33}{N} - 12 \] Чтобы \(a, b\) были целыми, необходимо: \[ N \text{ — делитель } 22 \quad \text{и} \quad N \text{ — делитель } 33 \] --- ### 5. Нахождение делителей \(22\) и \(33\) Делители: - \(22\): \(1, 2, 11, 22\) - \(33\): \(1, 3, 11, 33\) Чтобы существует такое \(N\), которое делит оба числа: \[ N \text{ — делитель обоих } 22 \text{ и } 33 \] Наименьшее такое — их наибольший общий делитель (НОД): \[ \mathrm{НОД}(22, 33) = 11 \] ? Проверим, что для \(N = 11\): \[ a = \frac{-22}{11} - 17 = -2 - 17 = -19 \] \[ b = \frac{33}{11} - 12 = 3 - 12 = -9 \] Всё — \(a, b\) — целые числа. Условия выполняются! --- ### 6. Проверка минимальности \(N > 1\): - \(N = 11\): уже подходит. - Попробуем меньшие делители, кроме 1: - \(N=2\): \[ a = -22/2 - 17 = -11 - 17 = -28 \quad (\text{целое}) \] \[ b = 33/2 -12 = 16.5 - 12 = 4.5 \quad (\text{нецелое!}) \] - Не подходит, так как \(b\) не целое. - \(N=3\): \[ a = -22/3 - 17 = -7.\overline{3} - 17 \quad (\text{нецелое}) \] - Не подходит. - \(N=22\): \[ a = -22/22 - 17 = -1 - 17 = -18 \] \[ b = 33/22 - 12 = 1.5 - 12 = -10.5 \quad (\text{не целое}) \] - Не подходит. - \(N=33\): \[ a = -22/33 - 17 \approx -0.666... - 17 \quad (\text{не целое}) \] - Не подходит. --- ### Вывод: Наименьшее натуральное \(N>1\), при котором существуют целые \(a, b\), удовлетворяющие условию возврата в начальную точку, — **11**. --- ## **Ответ:** \[ \boxed{11} \] Минимальное значение \(N>1\), при котором программа завершится возвращением чертёжника в исходную точку, равно **11**.