(3с2)5/(d2c)3
Давайте разберем выражение \(\frac{\binom{3c}{2} \cdot 5}{(d^2 c)^3}\) подробно и понятно.
Шаг 1: Распишем исходное выражение
\[ \frac{\binom{3c}{2} \cdot 5}{(d^2 c)^3} \]
Здесь:
- \(\binom{3c}{2}\) — биномиальный коэффициент, который считается по формуле \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).
- \Обозначение \(d^2 c\) — произведение \(d^2\) и \(c\), возведенное в степень 3.
Шаг 2: Упростим биномиальный коэффициент \(\binom{3c}{2}\)
Так как \(\binom{3c}{2} = \frac{(3c)!}{2!(3c-2)!}\), то:
\[ \binom{3c}{2} = \frac{(3c) \times (3c - 1)}{2} \]
Это происходит потому, что для \(\binom{n}{2}\):
\[ \binom{n}{2} = \frac{n \times (n-1)}{2} \]
Поскольку \(n = 3c\), получаем:
\[ \binom{3c}{2} = \frac{3c \times (3c - 1)}{2} \]
Шаг 3: Запишем числитель
Числитель: \(\binom{3c}{2} \cdot 5\):
\[ \left( \frac{3c \times (3c - 1)}{2} \right) \times 5 \]
Объединим:
\[ \frac{3c \times (3c - 1) \times 5}{2} \]
Шаг 4: Упростим знаменатель \((d^2 c)^3\)
Используем правило возведения в степень произведения:
\[ (d^2 c)^3 = (d^2)^3 \times c^3 = d^{2 \times 3} \times c^3 = d^6 \times c^3 \]
Шаг 5: Итоговая формула
Теперь имеем:
\[ \frac{\frac{3c \times (3c - 1) \times 5}{2}}{d^6 c^3} \]
Это можно переписать как деление дробей:
\[ \frac{3c \times (3c - 1) \times 5}{2} \times \frac{1}{d^6 c^3} \]
Или:
\[ \frac{3c \times (3c - 1) \times 5}{2 \times d^6 c^3} \]
Шаг 6: Упростим выражение
Объединим множители:
\[ \frac{3c \times (3c - 1) \times 5}{2 \times d^6 c^3} \]
Заметим, что в числителе есть множитель \(3c\). Он сокращается с \(c^3\) в знаменателе, остальное выражается как:
\[ \frac{(3c - 1) \times 3c \times 5}{2 \times d^6 c^3} \]
Разделим \(c\) в числителе и знаменателе:
\[ \frac{(3c - 1) \times 3c \times 5}{2 \times d^6 c^3} = \frac{(3c - 1) \times 3c \times 5}{2 \times d^6 \times c^3} \]
Поскольку \(c\) в числителе есть один раз, а в знаменателе \(c^3\), получаем сокращение на один \(c\):
\[ \frac{(3c - 1) \times 3c \times 5}{2 \times d^6 \times c^3} = \frac{(3c - 1) \times 3 \times 5}{2 \times d^6 \times c^2} \]
Итоговое упрощение:
\[ \boxed{ \frac{15 \times (3c - 1) \times 3c}{2 \times d^{6} \times c^2} } \]
или просто:
\[ \frac{45 c (3c - 1)}{2 d^6 c^2} \]
Можно сократить \(c\) в числителе и в знаменателе:
\[ \frac{45 (3c - 1)}{2 d^6 c} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{45 (3c - 1)}{2 d^{6} c} } \]
Это — максимально упрощенное выражение для данного варианта.
