теорема Пифагора

Ниже — подробное разбор теоремы Пифагора с объяснениями и примерами, ориентированный на среднюю школу.

1. Что говорит теорема Пифагора

• В любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c^2 = a^2 + b^2.
• Здесь:
  • c — гипотенуза (сторона напротив прямого угла),
  • a и b — два катета (сомкнутые стороны).

2. Как применять формулу

• Если известны оба катета a и b, то гипотенузу можно найти так: c = sqrt(a^2 + b^2).
• Если известна гипотенуза c и один катет a, другой катет найти: b = sqrt(c^2 − a^2).
• Если известны оба катета, можно проверить гипотенузу: c = sqrt(a^2 + b^2).
• Важно: формула применяется только к прямоугольному треугольнику. Если треугольник не прямой, прямое применение будет неверным.

3. Доказательство (пояснение, чтобы понять идею)

• Доказательство через площади квадратов:
  • Постройте квадрат на каждом стороне треугольника: на катетах a и b и на гипотенузе c.
  • В общем виде можно состряпать такой разрез: на рисунке квадраты над сторонами можно разделить и сложить так, чтобы области на двух меньших квадратах точно покрывали область большого квадрата на гипотенузе.
  • В итоге получается равенство площадей: площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах, то есть c^2 = a^2 + b^2.
• Кратко про обратное следствие:
  • Если в треугольнике стороны удовлетворяют a^2 + b^2 = c^2, то угол между сторонами a и b равен 90°. Это можно увидеть через косинусную теорему: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C. При равенстве a^2 + b^2 = c^2 получаем cos C = 0, значит C = 90°.

4. Примеры решения задач

• Пример 1. Найти гипотенузу треугольника, если катеты 3 и 4.

  • a = 3, b = 4.
  • c = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.

• Пример 2. Найти один катет, если гипотенуза 13 и другой катет 5.

  • c = 13, a = 5.
  • b = sqrt(13^2 − 5^2) = sqrt(169 − 25) = sqrt(144) = 12.

• Пример 3. Пример с нецелыми результатами.

  • Катеты: a = 5, b = 7.
  • c = sqrt(5^2 + 7^2) = sqrt(25 + 49) = sqrt(74) ≈ 8.60.

• Пример 4. Проверка знаменитых триплетов.

  • 6-8-10: a = 6, b = 8 → c = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10.
  • 9-12-15: a = 9, b = 12 → c = sqrt(9^2 + 12^2) = sqrt(81 + 144) = sqrt(225) = 15.

• Пример 5. Конвертация назад: данú гипотенуза 25 и катет 7, найти другой катет.

  • c = 25, a = 7.
  • b = sqrt(25^2 − 7^2) = sqrt(625 − 49) = sqrt(576) = 24.

5. Быстрые советы и распространённые ошибки

• Всегда проверяйте, что треугольник прямоугольный, прежде чем применять формулу.
• Не путайте c с a или b — именно c является гипотенузой (самая длинная сторона, противоположная прямому углу).
• При вычислениях аккуратно берите квадратный корень: sqrt может дать десятичное число для нецелых случаев.
• При решении задач на поиск катета через гипотенузу используйте b = sqrt(c^2 − a^2); при поиске гипотенузы через катеты используйте c = sqrt(a^2 + b^2).

6. Короткая закріпительная задача (для самостоятельной практики)

• В прямоугольном треугольнике один катет 9, другой катет 40. Найдите гипотенузу.
  • c = sqrt(9^2 + 40^2) = sqrt(81 + 1600) = sqrt(1681) = 41.

Если хочешь, могу привести ещё примеры или сделать небольш тест на закрепление (разные варианты: сначала найти гипотенузу, потом катет и т. д.).