Тест по алгебре – тема: Дробно-рациональные уравнения
Класс: 8
Тип вопросов: Открытый
Количество вопросов: 5
Ответы: Да (под каждый вопрос дано решение)
Вопрос 1
Решите уравнение: (2x + 3) / (x − 1) = 5. Укажите домен выражения.
Вопрос 2
Решите уравнение: (x + 2) / (x − 3) + 4 / (x − 3) = 2. Укажите домен.
Вопрос 3
Решите уравнение: 3 / (x + 1) + 2 / (x − 1) = 1. Укажите домен.
Вопрос 4
Решите уравнение: 2 / (x − 2) = (x + 4) / (x − 2) − 3. Укажите домен.
Вопрос 5
Решите уравнение: (x − 1) / (2x + 3) = (3x + 5) / (4x + 6). Укажите домен.
Ответы (с решениями)
Вопрос 1
Домен: x ≠ 1.
Решение:
(2x + 3) = 5(x − 1) ⇒ 2x + 3 = 5x − 5 ⇒ 8 = 3x ⇒ x = 8/3.
Проверка: x ≠ 1, верно. Ответ: x = 8/3.
Вопрос 2
Домен: x ≠ 3.
Решение:
(х + 2) / (x − 3) + 4 / (x − 3) = 2 ⇒ (x + 2 + 4) / (x − 3) = 2 ⇒ (x + 6) / (x − 3) = 2
⇒ x + 6 = 2x − 6 ⇒ 12 = x ⇒ x = 12.
Проверка: x ≠ 3, верно. Ответ: x = 12.
Вопрос 3
Домен: x ≠ −1, x ≠ 1.
Решение:
3/(x + 1) + 2/(x − 1) = 1. Умножим на (x^2 − 1):
3(x − 1) + 2(x + 1) = x^2 − 1
3x − 3 + 2x + 2 = x^2 − 1
5x − 1 = x^2 − 1 ⇒ x^2 − 5x = 0 ⇒ x(x − 5) = 0
Значения: x = 0 или x = 5. Оба удовлетворяют условиям домена.
Ответы: x = 0, 5.
Вопрос 4
Домен: x ≠ 2.
Решение:
2/(x − 2) = (x + 4)/(x − 2) − 3
(х + 4)/(x − 2) − 3 = (x + 4 − 3(x − 2)) / (x − 2) = (−2x + 10) / (x − 2)
Следовательно: 2/(x − 2) = (−2x + 10)/(x − 2) ⇒ 2 = −2x + 10 ⇒ −2x = −8 ⇒ x = 4.
Проверка: x ≠ 2, верно. Ответ: x = 4.
Вопрос 5
Домен: 2x + 3 ≠ 0 и 4x + 6 ≠ 0 ⇒ x ≠ −3/2.
Решение:
(х − 1) / (2x + 3) = (3x + 5) / (4x + 6) = (3x + 5) / (2(2x + 3)).
Перемножим перекрестно:
(x − 1)(4x + 6) = (3x + 5)(2x + 3)
Раскроем скобки:
(4x^2 + 6x − 4x − 6) = (6x^2 + 19x + 15)
4x^2 + 2x − 6 = 6x^2 + 19x + 15
0 = 2x^2 + 17x + 21
Дискриминант D = 17^2 − 4·2·21 = 289 − 168 = 121, sqrt D = 11.
x = (−17 ± 11) / (4) ⇒ x1 = (−6)/4 = −3/2, x2 = (−28)/4 = −7.
Домен исключает x = −3/2, поэтому допустимо только x = −7.
Ответ: x = −7.
