sin5x=cos4x

Задача: sin(5x) = cos(4x)

Контекст: предполагаем обычно радианы (x в рад). Если другие единицы не указаны, решение в радианах.

Пошаговое решение

1. Приведём правую часть к функции синуса. cos(4x) = sin(π/2 - 4x)

Итак, имеем уравнение: sin(5x) = sin(π/2 - 4x)

2. Используем стандартное свойство синуса: Если sin A = sin B, то возможны два семейства решений:

• A = B + 2πk
• A = π − B + 2πk где k ∈ Z.

Применим к A = 5x и B = π/2 − 4x.

3. Разбор по случаям

• Случай 1: 5x = (π/2 − 4x) + 2πk 5x = π/2 − 4x + 2πk 9x = π/2 + 2πk x = π/18 + (2π/9)k, где k ∈ Z

• Случай 2: 5x = π − (π/2 − 4x) + 2πk π − (π/2 − 4x) = π/2 + 4x 5x = π/2 + 4x + 2πk x = π/2 + 2πk, где k ∈ Z

Итого, обобщённое решение:

• x = π/18 + (2π/9)k, k ∈ Z
• или x = π/2 + 2πk, k ∈ Z

4. Примечание поDeg (если задача решается в градусах)

• В градусах эквивалентно: sin(5x) = cos(4x) ⇒ sin(5x) = sin(90° − 4x) Решения:
  • 5x = 90° − 4x + 360°k → x = 10° + 40°k
  • 5x = 180° − (90° − 4x) + 360°k = 90° + 4x + 360°k → x = 90° + 360°k То же самое, что и в радианах, просто в другой единице.

5. Проверка (необязательная, но полезно) Возьмём k = 0 в первом семействе: x = π/18. Тогда 5x = 5π/18, 4x = 4π/18 = 2π/9. cos(4x) = cos(2π/9) = sin(π/2 − 2π/9) = sin(5π/18) = sin(5x). Соответственно, решение верно.

Если хочешь, могу привести несколько конкретных примеров под конкретные значения k и/или показать графическую иллюстрацию.