Вычислите значение выражения 1000 +999 - 998- 997 +996 +995 -994 - 993+ ...+4 +3 -2 -1

Разберем задачу пошагово.

1. Заметим закономерность Здесь знаки идут по парностям: + + - - + + - - … Таким образом, можно разбить выражение на группы по два числа: (1000 + 999) - (998 + 997) + (996 + 995) - (994 + 993) + ... + (4 + 3) - (2 + 1).

Каждая группа j имеет два числа: (1000 − 2j) и (999 − 2j) и знак сменяется каждые две группы. Тогда S = sum_{j=0}^{499} (-1)^j [ (1000 − 2j) + (999 − 2j) ].

2. Упростим выражение внутри суммы (1000 − 2j) + (999 − 2j) = 1999 − 4j. Значит, S = sum_{j=0}^{499} (-1)^j (1999 − 4j) = 1999 · sum_{j=0}^{499} (-1)^j − 4 · sum_{j=0}^{499} j · (-1)^j.

3. Посчитаем суммы

• У первой суммы: sum_{j=0}^{499} (-1)^j. Это чередование из 500 членов, сумма равна 0.
• Таким образом S = −4 · sum_{j=0}^{499} j · (−1)^j.

Рассчитаем B = sum_{j=0}^{499} j · (−1)^j. Разобьем на пары: (0,1), (2,3), …, (498,499). Для пары (2k, 2k+1) сумма = (2k)·(1) + (2k+1)·(−1) = 2k − (2k+1) = −1. Всего 250 пар (0 ≤ k ≤ 249), значит B = 250 · (−1) = −250.

4. Получаем ответ S = −4 · B = −4 · (−250) = 1000.

Ответ: 1000.