sinx-sin3x-sin5x+sin7x=0

Задача: sin x − sin 3x − sin 5x + sin 7x = 0

Пошаговое решение с объяснениями

1. Группируем пары и применяем формулу sin A − sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A−B)/2):

• sin x − sin 3x = 2 cos((x+3x)/2) sin((x−3x)/2) = 2 cos(2x) sin(−x) = −2 cos 2x sin x
• sin 7x − sin 5x = 2 cos((7x+5x)/2) sin((7x−5x)/2) = 2 cos(6x) sin x

Таким образом левая часть превращается в: (sin x − sin 3x) + (sin 7x − sin 5x) = −2 cos 2x sin x + 2 cos 6x sin x = 2 sin x (cos 6x − cos 2x)

2. Применяем формулу cos A − cos B = −2 sin((A+B)/2) sin((A−B)/2): cos 6x − cos 2x = −2 sin((6x+2x)/2) sin((6x−2x)/2) = −2 sin(4x) sin(2x)

Подстановка даёт: 2 sin x (cos 6x − cos 2x) = 2 sin x (−2 sin 4x sin 2x) = −4 sin x sin 2x sin 4x

Следовательно уравнение эквивалентно: sin x · sin 2x · sin 4x = 0

3. Решение произведения равного нулю:

• sin x = 0 → x = kπ
• sin 2x = 0 → 2x = mπ → x = mπ/2
• sin 4x = 0 → 4x = nπ → x = nπ/4

Замечание: любой корень sin x = 0 или sin 2x = 0 также является корнем sin 4x = 0 (т. к. x = kπ и x = mπ/2 входят в x = nπ/4). Таким образом множество решений равно корням sin 4x = 0.

Итоговое решение: x = nπ/4, где n ∈ Z.