Реши систему уравнений: \begin{cases} 2x + 3y = 11 \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases}

Решим систему:

2x + 3y = 11 x^2 - y^2 = 5 = (x - y)(x + y)

Заведём a = x + y, b = x - y. Тогда:

• ab = 5
• 2x + 3y = (x + y) + (x + 2y) = (5a - b)/2 = 11, то есть 5a - b = 22.

Получаем систему: ab = 5 b = 5a - 22

→ a(5a - 22) = 5 → 5a^2 - 22a - 5 = 0

Решение: a = [22 ± sqrt(584)]/10 = [11 ± sqrt(146)]/5. Тогда b = 5a - 22.

Теперь x = (a + b)/2, y = (a - b)/2. Получаем две пары:

1. a = (11 + sqrt(146))/5, b = -11 + sqrt(146)

• x = (-22 + 3√146)/5
• y = (33 - 2√146)/5

2. a = (11 - sqrt(146))/5, b = -11 - sqrt(146)

• x = (-22 - 3√146)/5
• y = (33 + 2√146)/5

Приближённо:

• (x, y) ≈ (2.85, 1.77)
• (x, y) ≈ (-11.65, 11.43)