1+cost+cos2t+cos3t=0

Задача: 1 + cos t + cos 2t + cos 3t = 0 Пошаговое решение (пояснения для понимания): 1) Объединим пару cos через тождество суммы косинусов cos t + cos 3t = 2 cos((t+3t)/2) cos((t-3t)/2) = 2 cos(2t) cos(-t) = 2 cos 2t cos t. Тогда уравнение перепишем как: 1 + cos 2t + (cos t + cos 3t) = 0 1 + cos 2t + 2 cos 2t cos t = 0 1 + cos 2t (1 + 2 cos t) = 0. 2) Введём переменную x = cos t. Тогда cos 2t = 2x^2 - 1. Подставим: (2x^2 - 1)(2x + 1) = -1. 3) Приведём к полному нулю: (2x^2 - 1)(2x + 1) + 1 = 0 4x^3 + 2x^2 - 2x = 0 2x(2x^2 + x - 1) = 0. 4) Найдём корни по x: - x = 0 → cos t = 0. - 2x^2 + x - 1 = 0 → x = [-1 ± sqrt(1 + 8)]/4 = (-1 ± 3)/4 → x = 1/2 или x = -1. Итого, cos t ∈ {0, 1/2, -1}. 5) Теперь выпишем устрановки для t (обобщённые решения на всю совокупность вещественных t): - cos t = 0 → t = π/2 + kπ, k ∈ Z. - cos t = 1/2 → t = ± π/3 + 2πk, k ∈ Z. - cos t = -1 → t = π + 2πk, k ∈ Z. 6) Проверка на спокойствие: подставляя любой из полученных t, видим, что сумма действительно равна нулю (например, для t = π/2: 1 + 0 + (-1) + 0 = 0; для t = π/3: 1 + 1/2 - 1/2 - 1 = 0; для t = π: 1 - 1 + 1 - 1 = 0). Ответ (обобщённо): t принадлежит одному из множества: - t = π/2 + kπ, k ∈ Z - t = ± π/3 + 2πk, k ∈ Z - t = π + 2πk, k ∈ Z Или можно записать как объединение мод 2π: t ≡ π/2, 3π/2, π/3, 5π/3, π (mod 2π).