y=x^2*4

Задача: y = x^2 * 4, то есть y = 4x^2.

Пошаговое разбор и объяснение (для понимания):

1. Прямое чтение и вид функции

• Это квадратичная функция. В стандартной форме y = a x^2 + b x + c здесь a = 4, b = 0, c = 0.
• Коэффициент a > 0, значит парабола открывается вверх.

2. Вершина и ось симметрии

• Формула для вершины по коэффициентам: x_v = -b/(2a). Здесь x_v = -0/(8) = 0.
• Значение вершины: y_v = y(0) = 0.
• Следовательно, вершина параболы в точке (0, 0).
• Ось симметрии: x = 0 (все графики типа y = a x^2 симметричны относительно оси y).

3. Масштабирование по сравнению с y = x^2

• При том же x значение y умножен на 4: y = 4x^2.
• Это вертикальное растяжение графика y = x^2 в 4 раза (парабола стала "выше" для каждого ненулевого x).

4. Домен и область значения

• Домен: все действительные числа, x ∈ ℝ.
• Область значения: y ≥ 0, потому что квадрат любого x неотрицателен, а умножение на 4 сохраняет неотрицательность.

5. Пересечения с осями

• Пересечение с осью y (y-без x): подставляем x = 0 → y = 0. Значит, точка пересечения с осью y — (0, 0).
• Пересечение с осью x: ищем y = 0 → 4x^2 = 0 → x = 0. Единственная точка пересечения с осью x — тоже (0, 0).

6. Примеры конкретных значений (чтобы увидеть рост)

• При x = 0: y = 0.
• При x = 1: y = 4(1)^2 = 4.
• При x = -1: y = 4(-1)^2 = 4.
• При x = 2: y = 4(2)^2 = 16.
• При x = -2: y = 16. Эти значения демонстрируют рост быстрее по мере увеличения |x| по сравнению с y = x^2.

7. Производная (погружение в детализацию скорости роста)

• Производная dy/dx = 8x.
• Это говорит, что наклон касательной в точке x равен 8x. При x > 0 наклон положительный и растет с x, при x < 0 наклон отрицательный, но в любом случае график симметричен относительно оси y.

8. Небольшие дополнения по обратному отображению (если интересно)

• Решение для обратной функции: y = 4x^2 не однозначно локально обратимо на всей области, потому что функция не однозначна по x для данного y.
• Если ограничить область, например, x ≥ 0, то можно получить обратную: x = sqrt(y/4) = (1/2) sqrt(y), при y ≥ 0. Аналогично можно ограничить x ≤ 0 и получить x = -(1/2) sqrt(y).

Итог: y = 4x^2 — это парабола, вершина в (0,0), ось симметрии x = 0, открывается вверх, домен ℝ, диапазон y ≥ 0, и для любого x величина y равна четырём квадратам x. Если хочешь, могу привести график или рассчитать значения для конкретных x, а также показать производную на конкретной точке.