найти корень из 67

Задача: найти корень из 67, то есть вычислить sqrt(67).

Кратко: sqrt(67) — не целое число, приблизительно равно 8.185353.

Подробное решение и объяснение

1. Очевидная граница

• 8^2 = 64 и 9^2 = 81, значит sqrt(67) лежит между 8 и 9.

2. Первое приближение (линейная аппроксимация)

• Пусть f(x) = sqrt(x). В точке x0 = 64 имеем f(64) = 8 и производную f'(x) = 1/(2 sqrt(x)).
• Тогда при небольшом приросте Δx можно приближением: sqrt(64 + Δx) ≈ 8 + Δx/(2*8) = 8 + Δx/16.
• Здесь Δx = 3, значит приближённо sqrt(67) ≈ 8 + 3/16 = 8.1875.

3. Более точное приближение методом Ньютона

• Метод Ньютона для корня из N задаётся формулой: x_{k+1} = (x_k + N/x_k) / 2.
• Выберем начальное приближение x0 = 8.1875 (из шага 2).
• Посчитаем 67/x0. Так как x0 = 131/16, получаем 67/x0 = 67 ÷ (131/16) = 1072/131 ≈ 8.183206.
• Новая итерация: x1 = (x0 + 67/x0) / 2 = (8.1875 + 8.183206) / 2 ≈ 16.370706 / 2 ≈ 8.185353.

4. Итог

• После одной итерации Ньютона получаем sqrt(67) ≈ 8.185353.
• Это значение уже достаточно точно для большинства школьных задач. Точная величина sqrt(67) иррациональна и бесконечно непериодическая, поэтому точное представление даётся как бесконечно длинная десятичная дробь.

Ответ: sqrt(67) ≈ 8.185353 (при желании можно указать ещё больше знаков после запятой, повторив итерацию).