2log_{(x^2-6x+10)^2}(5x^2+3) <= log_{x^2-6x+10}(4x^2+7x+3)

Цель: понять решение задачи по алгебре (11 класс). Задача: 2 log_{(x^2-6x+10)^2}(5x^2+3) ≤ log_{x^2-6x+10}(4x^2+7x+3) 1) Введение заменителей и область допустимых значений - Пусть A = x^2 - 6x + 10. Тогда A = (x-3)^2 + 1 ≥ 1, и A = 1 только при x = 3. - База логарифмов в задаче: A^2 и A. Чтобы логарифмы существовали, требуется: - A > 0 и A ≠ 1, т.е. x ≠ 3. - Аргументы логарифмов > 0: 5x^2 + 3 > 0 (всегда верно) и 4x^2 + 7x + 3 > 0. - Анализ 4x^2 + 7x + 3 > 0: Дискриминант D = 49 - 48 = 1, корни x = -1 и x = -3/4. Парабола вверх, поэтому 4x^2 + 7x + 3 > 0 при x < -1 или x > -3/4. - Следовательно, область допустимых значений (домены) D = (-∞, -1) ∪ (-3/4, ∞), с исключением x = 3 (потому что тогда A = 1). 2) Преобразование неравенства 2 log_{(A)^2}(5x^2 + 3) ≤ log_A(4x^2 + 7x + 3) Заметим свойство логарифмов: log_{B^2}(C) = ln(C)/ln(B^2) = ln(C)/(2 ln B) = (1/2) log_B(C). Умножение на 2 даёт: 2 log_{A^2}(5x^2+3) = log_A(5x^2+3). Тогда неравенство превращается в: log_A(5x^2 + 3) ≤ log_A(4x^2 + 7x + 3). Так как в допустимой области A > 1 (для всех x ≠ 3), логарифм log_A ∙ является строго возрастает, следовательно: 5x^2 + 3 ≤ 4x^2 + 7x + 3. Упрощаем: x^2 - 7x ≤ 0 x(x - 7) ≤ 0 Отсюда x ∈ [0, 7]. 3) Пересечение с областью допустимых значений Из пункта 1: D = (-∞, -1) ∪ (-3/4, ∞) \ {3}. Пересечение с [0, 7] даёт: [0, 7] \ {3}. 4) Ответ и проверки - Поскольку при x = 0: обе стороны равны log_A(3), неравенство выполняется. - При x = 7: обе стороны равны log_A(248), неравенство выполняется. - Исключение: x = 3 исключаем, так как A = 1, база логарифма недопустима. Итак, решения задачи: x ∈ [0, 7], с исключением x = 3. Формально можно записать как: [0, 3) ∪ (3, 7].