Три сосуда с приставным дном погружены в воду на одинаковую глубину. Дно каждого из сосудов (рис. 9.59) отпадает, если налить в них по 1 кг воды. Отпадёт ли дно, если: a) налить в…

Рассуждаем по принципу гидростатики. Пусть

• A — площадь дна каждого сосуда,
• h_inside — высота столба жидкости внутри сосуда над дном,
• ρ_inside — плотность жидкости внутри,
• ρ_w — плотность окружающей воды,
• P_ext — внешнее давление на дно (со стороны воды), одно и то же для всех сосудов, так как глубина погружения одинакова.

Пусть внутри сосуда имеется жидкость массой m. Тогда её объём V = m/ρ_inside, и высота столба над дном h_inside = V/A = m/(ρ_inside A).

pressure на дно внутри сосуда становится P_in = P_atm + ρ_inside g h_inside = P_atm + (m g)/A.

Внешнее давление на аналогичное дно снаружи на той же глубине равно P_ext = P_atm + ρ_w g h_ext (одинаковое для всех трёх сосудов).

Дно отпадёт (пойдет наружу) тогда и только тогда, когда P_in > P_ext (силы внутри суммарно pushing вниз по дну наружу превосходят внешнее давление сверху). В ситуации, заданной в условии, дно отпадает уже при m = 1 кг воды, значит P_in(1 кг воды) превосходит P_ext.

1. а) налить в сосуды по 1 кг масла

• для каждого сосуда m = 1 кг независимо от плотности масла. Следовательно P_in = P_atm + (1 kg) g / A, так же, как и в случае воды.
• Поскольку для воды dно уже отпадало, для масла такое же количество массы даёт ровно ту же давление на дно. Значит дно отпадёт и здесь.

Ответ: да, дно отпадёт.

2. б) налить в сосуды по 1 кг ртути

• та же аргументация: масса над дном такая же (1 кг), независимо от плотности жидкости. P_in = P_atm + g/A.
• Это равно тому давлению, которое вызвало отсоединение для воды.

Ответ: да, дно отпадёт.

3. в) положить в каждый сосуд по гире массой 1 кг Здесь ситуация иная: гиря — твердый предмет. Она занимает часть объёма сосуда, тем самым уменьшает объём свободной жидкости внутри сосуда и, следовательно, уменьшает высоту столба жидкости над дном:

• Δh = V_ballast / A = (m_ballast / ρ_ballast) / A.
• После добавления гири объём жидкости остаётся тем же по массе m, но высота столба над дном уменьшается до h’ = h_inside − Δh, и давление внутри на дно становится меньше: P_in' = P_atm + ρ_inside g h' = P_atm + ρ_inside g (h_inside − Δh) = P_in − ρ_inside g Δh = P_in − ρ_inside g (m_ballast / (ρ_ballast A)).

Поскольку Dно отпадало при m = 1 кг воды, т.е. при определённом P_in, снижение P_in’ по сравнению с P_in происходит из-за displacement (чем-то занято место жидкости гирей). В общем виде тяжёлые гири с типично плотными материалами занимают очень маленький объём, поэтому Δh обычно невелико, и P_in’ может остаться выше P_ext, но это зависит от массы и плотности гири. Без данных о плотности гири нельзя однозначно сказать, отпадёт ли дно. Однако в зависимости от плотности гири (ρ_ballast) и площади дна при любом нормальном материале 1 кг гири обычно не позволяет добиться того же P_in’ + превышение над P_ext, которое было до добавления гири.

Кратко:

• а) да
• б) да
• в) зависит от плотности гири и её объёма; теоретически давление на дно уменьшается из-за вытеснения жидкости гирей, поэтому дно может не отпасть. В типичной постановке ответ чаще приводят как: дно не отпадёт (или не обязательно отпадёт) при использовании гири массой 1 кг, так как гиря снижает высоту жидкого столба над дном.

Итого

• а) да
• б) да
• в) не обязательно; в большинстве случаев дно не отпадёт (за счёт вытеснения жидкости гирей), но точный исход зависит от плотности гири и её объёма.