Корень из 111

Задача: найти корень из 111, то есть √111. Ответ - Точное выражение: √111, нельзя упростить до целого числа. - Численно: √111 ≈ 10.53565 (до пяти знаков после запятой). Пошаговое решение и пояснения 1) Проверка на целостность корня - Разложим 111: 111 = 3 · 37. В числах нет квадратных множителей, кроме 1. - Значит sqrt(111) не является целым числом и его нельзя вынести как кратное квадрату. Корень иррационален. 2) Границы - 10^2 = 100 и 11^2 = 121. Поскольку 100 < 111 < 121, получаем, что √111 находится между 10 и 11. 3) Приближённое вычисление методом Ньютона (итерационный метод) - Выберем начальное приближение x0 = 10.5. - Формула Ньютона для корня квадратного: x_{n+1} = (x_n + 111 / x_n) / 2. - Первый шаг: x1 = (10.5 + 111 / 10.5) / 2 ≈ (10.5 + 10.5714286) / 2 ≈ 10.5357143 - Второй шаг (для большей точности): x2 = (x1 + 111 / x1) / 2 ≈ (10.5357143 + 111 / 10.5357143) / 2 ≈ ≈ 10.53565 - Уже на этом этапе получаем очень близкое значение: √111 ≈ 10.53565. 4) Проверка частной точки - Возьмём приближённое значение a = 10.53565 и возведём в квадрат: a^2 ≈ 111.0000 (погрешность очень малая), что подтверждает корректность приближения. Итого - Точное выражение: √111 = √(3·37) (не сокращается). - Приближённое значение: √111 ≈ 10.53565. Если нужна ещё большая точность, можно продолжать итерации метода Ньютона или воспользоваться калькулятором.