Докажите неравенство 1) 28a-32≤7a²-4 2) 9x²-6xy+4y²≥0 3) 3(b-1)3(p²+p)

Ниже приведены подробные решения по каждой неравенству. Предполагаю, что переменные действительные. 1) Неравенство: 28a − 32 ≤ 7a^2 − 4 Шаги: - Перенесём все в одну сторону: 0 ≤ 7a^2 − 4 − 28a + 32. - Упростим: 7a^2 − 28a + 28 = 7(a^2 − 4a + 4) = 7(a − 2)^2. - Таким образом неравенство эквивалентно: 7(a − 2)^2 ≥ 0, что верно для всех a (квадрат любого числа ≥ 0, умножение на 7 сохраняет неотрицательность). - Вывод: неравенство выполняется для всех вещественных a. Равенство достигается при a = 2. 2) Неравенство: 9x^2 − 6xy + 4y^2 ≥ 0 Шаги: - Заметим, что 9x^2 − 6xy + 4y^2 можно переписать как сумма квадратов: 9x^2 − 6xy + 4y^2 = (3x − y)^2 + 3y^2. - Обе части являются квадратами, следовательно ≥ 0, а их сумма тоже ≥ 0. - Вывод: неравенство выполняется для всех пар (x, y) вещественных. Равенство достигается только при y = 0 и 3x − y = 0 → x = 0, y = 0. 3) Неравенство: 3(b − 1) < b(b + 1) Шаги: - Перепишем левую и правую части и перенесём всё в одну сторону: b(b + 1) − 3(b − 1) > 0. - Раскроем скобки: (b^2 + b) − (3b − 3) = b^2 + b − 3b + 3 = b^2 − 2b + 3. - Поэтому неравенство эквивалентно: b^2 − 2b + 3 > 0. - Заметим, что b^2 − 2b + 3 = (b − 1)^2 + 2 ≥ 2 > 0 для всех b. Также дискриминант квадратичного выражения D = (−2)^2 − 4·1·3 = 4 − 12 = −8 < 0, что подтверждает, что выражение положительно для всех b. - Вывод: неравенство истинно для всех вещественных b (никакого равенства нет). 4) Неравенство: (4p − 1)(p + 1) − (p − 3)(p + 3) > 3(p^2 + p) Шаги: - Раскроем скобки: (4p − 1)(p + 1) = 4p^2 + 4p − p − 1 = 4p^2 + 3p − 1. (p − 3)(p + 3) = p^2 − 9. - Левую часть запишем как: (4p^2 + 3p − 1) − (p^2 − 9) = 3p^2 + 3p + 8. - Правая часть: 3(p^2 + p) = 3p^2 + 3p. - Разность сторон: [LHS] − [RHS] = (3p^2 + 3p + 8) − (3p^2 + 3p) = 8. - Значит неравенство эквивалентно 8 > 0, что верно для любого p. - Вывод: неравенство выполняется для всех вещественных p (строгое неравенство, равно никогда не достигается). Итог: - 1) истинно для всех a; равенство при a = 2. - 2) истинно для всех (x, y); равенство только в (0, 0). - 3) истинно для всех b (строгое), равенство не достигается. - 4) истинно для всех p (строгое), равенство не достигается.