sin2x-sin3x+sin8x=cos(7x+3π/2)
Цель: Понять. Подробное решение с пошаговыми объяснениями.
Задача: sin2x − sin3x + sin8x = cos(7x + 3π/2)
- Преобразование правой части cos(7x + 3π/2) = sin(7x). Это следует из тождества cos(α + 3π/2) = sin α.
Итак, уравнение превращается в: sin2x − sin3x + sin8x = sin7x
Перенесем правую часть в левую и сгруппируем пары синусов: sin2x − sin3x + sin8x − sin7x = 0
- Применение формул суммирования-по-разности
Для пары sin2x − sin3x используем формулу sinA − sinB = 2 cos((A+B)/2) sin((A−B)/2): sin2x − sin3x = 2 cos((2x+3x)/2) sin((2x−3x)/2) = 2 cos(5x/2) sin(−x/2) = −2 sin(x/2) cos(5x/2).
Для пары sin8x − sin7x используем ту же формулу: sin8x − sin7x = 2 cos((8x+7x)/2) sin((8x−7x)/2) = 2 cos(15x/2) sin(x/2).
Слагаемые складываются: (−2 sin(x/2) cos(5x/2)) + (2 sin(x/2) cos(15x/2)) = 0
- Факторизация 2 sin(x/2) [ cos(15x/2) − cos(5x/2) ] = 0
Отсюда имеем два случая:
A) sin(x/2) = 0 → x/2 = kπ → x = 2kπ, где k ∈ Z.
B) cos(15x/2) = cos(5x/2)
Это равенство косинусов даёт две ветви решения для A = 15x/2 и B = 5x/2:
- B1) 15x/2 = 5x/2 + 2πn → (15x − 5x)/2 = 2πn → 5x = 2πn → x = (2π/5) n
- B2) 15x/2 = −5x/2 + 2πn → (15x + 5x)/2 = 2πn → 10x = 2πn → x = (π/5) n
- Объединение решений Заметим, что x = (2π/5) n является частным случаем x = (π/5) n при четных n, поэтому полный набор решений задаётся проще как: x = (π/5) n, где n ∈ Z.
Ответ: Все вещественные решения уравнения: x = (π/5) n, n ∈ Z (то есть x кратные π/5). Можно проверить на примерах: x = 0, π/5, 2π/5 и т.д. дают правильное равенство.
