Sin 2x-sin3x+sin8x=cos(7x+3π/2)

Задача: sin 2x - sin 3x + sin 8x = cos(7x + 3π/2) Цель: понять решение пошагово (для 11 класса, алгебра trigonometry). Шаг 1. Упростим правую часть cos(7x + 3π/2) = sin(7x) поскольку cos(α + 3π/2) = sin α. Теперь уравнение становится sin 2x - sin 3x + sin 8x = sin 7x Шаг 2. Перенесём всё в одну сторону sin 2x - sin 3x + sin 8x - sin 7x = 0 Шаг 3. Применим преобразование сумма-разность синусов - для пары sin 2x - sin 3x: sin 2x - sin 3x = 2 cos((2x+3x)/2) sin((2x-3x)/2) = 2 cos(5x/2) sin(-x/2) = -2 cos(5x/2) sin(x/2) - для пары sin 8x - sin 7x: sin 8x - sin 7x = 2 cos((8x+7x)/2) sin((8x-7x)/2) = 2 cos(15x/2) sin(x/2) Подставим в уравнение: -2 cos(5x/2) sin(x/2) + 2 cos(15x/2) sin(x/2) = 0 Шаг 4. Вынесем общую множитель 2 sin(x/2) [ - cos(5x/2) + cos(15x/2) ] = 0 Получаем две группы решений: Группа A: sin(x/2) = 0 x/2 = kπ → x = 2kπ, где k ∈ Z Группа B: cos(15x/2) = cos(5x/2) cos α = cos β → α = ±β + 2πn, n ∈ Z - 1) 15x/2 = 5x/2 + 2πn → 10x/2 = 2πn → 5x = 2πn → x = (2π/5) n - 2) 15x/2 = -5x/2 + 2πn → 20x/2 = 2πn → 10x = 2πn → x = (π/5) n Все решения из группы B можно объединить как x = nπ/5, n ∈ Z (заметим, что группа A содержится в группе B наслово: x = 2kπ соответствует n = 10k в x = nπ/5). Итак, полный набор решений уравнения: x = nπ/5, где n ∈ Z Проверка (пример): Возьмём x = π/5. - sin 2x = sin(2π/5) ≈ 0.9511 - sin 3x = sin(3π/5) ≈ 0.9511 - sin 8x = sin(8π/5) ≈ -0.9511 Левая часть: 0.9511 - 0.9511 - 0.9511 ≈ -0.9511 RHS: cos(7x+3π/2) = cos(7π/5 + 3π/2) = sin(7π/5) ≈ -0.9511 Совпадает, значит решение корректно. Ответ: все вещественные x, удовлетворяющие x = nπ/5 (n ∈ Z).