Корень из 87

Задача: найти √87. Это иррациональное число, поэтому его точно записать как дробь нельзя; можно только численно оценить.

Краткий ответ: √87 ≈ 9.327379…; точнее образованное выражение — √87.

Пошаговое решение и пояснения

1. Проверка упрощения радикала

• 87 = 3 × 29. В радикале нет квадратных множителей, поэтому разложить √87 на более простые корни нельзя. Точная форма — √87.

2. Простая оценка по соседним квадратообразующим числам

• 9^2 = 81, 10^2 = 100. Значит, √87 лежит между 9 и 10.
• Пусть √87 = √(81 + 6). Это позволяет применить приближение вокруг 9.
  • Первый (линейный) порядок: √(81 + 6) примерно равно 9 + 6/(2·9) = 9 + 1/3 = 9.3333.
  • Второй порядок (коррекция по квадратичному члену): поправка −6^2/(8·9^3) = −36/(8·729) ≈ −0.00617.
  • Улучшенная оценка: 9.3333 − 0.00617 ≈ 9.32716. Это уже очень близко к реальному значению.

3. Метод Ньютона (итерационный способ)

• Выберем начальное приближение x0 = 9 (оно ближе к корню, чем 10).
• Итерация: x_{n+1} = (x_n + 87/x_n)/2.
  • x1 = (9 + 87/9)/2 = (9 + 9.6667)/2 = 9.3333.
  • x2 = (9.3333 + 87/9.3333)/2 ≈ (9.3333 + 9.3214)/2 ≈ 9.32738.
  • Любая следующая итерация даст ещё более точное значение (например, x3 ≈ 9.327379).
• Итог после нескольких шагов: √87 ≈ 9.327379.

4. Сверка и итог

• Точное значение: √87 = √87 (непереопределимое в простую дробь).
• Округление до тысячных: √87 ≈ 9.327.
• Проверка: (9.32738)^2 ≈ 87.000, что подтверждает точность оценки.

Ответ

• Точное выражение: √87.
• Приближённое значение (до трёх знаков после запятой): 9.327.