Два мотоциклиста одновременно отправляются навстречу друг другу из пунктов А и В. первый движется на 15 км/ч быстрее второго. Мотоциклисты встретились на расстоянии 14 км от середины отрезка АВ. Если бы первый мотоциклист выехал на 15 мин позже второго, они бы встретились в точности в середине отрезка АВ. Найдите расстояние между А и В (выразите его в км).

Задача решается в классической буквенной форме. Обозначения: - AB = D — расстояние между пунктами A и B ( км), которое нужно найти. - v1 — скорость первого мотоциклиста (км/ч). - v2 — скорость второго мотоциклиста (км/ч). - по условию: v1 = v2 + 15. 1) Расположение встречи Пусть P — точка встречи; x — расстояние AP. Тогда BP = D − x. Так как они стартуют одновременно, время встречи t удовлетворяет: x / v1 = (D − x) / v2. Также дано, что встреча происходит на расстоянии 14 км от середины М отрезка AB. Полуотрезок AM = MB = D/2. Значит |x − D/2| = 14. Из этого встреча либо слева, либо справа от середины. Проверим знак: из уравнения x v2 = (D − x) v1 получаем(v1 = v2 + 15): x v2 = (D − x)(v2 + 15) ⇒ v2(2x − D) = 15(D − x). Чтобы v2 было положительно, необходим 2x − D > 0, то есть x > D/2. Следовательно x = D/2 + 14. 2) Выразим скорости через D Из равенства времени встречи: x / v1 = (D − x) / v2. Подставим x = D/2 + 14 и v1 = v2 + 15: (D/2 + 14) / (v2 + 15) = (D − D/2 − 14) / v2 = (D/2 − 14) / v2. Разрежем: (D/2 + 14) v2 = (D/2 − 14)(v2 + 15) D/2 · v2 + 14 v2 = D/2 · v2 − 14 v2 + 15(D/2 − 14) Упрощаем: D/2·v2 cancels, остается 14 v2 = −14 v2 + 15(D/2 − 14) 28 v2 = 15(D/2 − 14) v2 = [15(D/2 − 14)] / 28 = (15/56)(D − 28). Тогда v1 = v2 + 15 = (15/56)(D − 28) + 15 = (15/56)(D + 28). Заметим, что эти выражения требуют D > 28 для положительности v2. 3) Вторая часть условия (15 минут задержки первого) Если первый выехал на 15 минут позже второго, они встретились бы в середине AB, то есть на расстоянии D/2 от A. Пусть задержка равна Δt = 0.25 ч. За время Δt второй мотоцикл уже проехал s_del = v2 Δt = 0.25 v2. После задержки оба движутся навстречу друг другу со скоростями v1 и v2. Расстояние между ними на момент начала движения обоих равно D − s_del. Совокупная скорость сближения — v1 + v2, значит время до встречи после начала совместного движения t' равно: t' = (D − s_del) / (v1 + v2). Условия задачи требуют, чтобы встреча произошла в середине, то есть расстояние, пройденное первым за время t', равно D/2: v1 t' = D/2. Подставим t': v1 (D − s_del) / (v1 + v2) = D/2, где s_del = 0.25 v2. Из этого получаем равенство: (D − 0.25 v2) / (v1 + v2) = D/(2 v1). Перепишем в удобной форме. После преобразований можно получить связь между v1, v2 и D: v1 v2 = 30 D. 4) Подстановка выражений для v1 и v2 Из пункта 2: v1 = (15/56)(D + 28), v2 = (15/56)(D − 28). Тогда v1 v2 = [(15/56)^2] (D + 28)(D − 28) = (225/3136)(D^2 − 784). По условию второй части получаем: (225/3136)(D^2 − 784) = 30 D. Умножим на 3136: 225(D^2 − 784) = 94080 D 225 D^2 − 176400 = 94080 D 225 D^2 − 94080 D − 176400 = 0. Разделим на 15: 15 D^2 − 6272 D − 11760 = 0. Решаем квадратное уравнение: Дискриминант Δ = 6272^2 − 4·15·(−11760) = 6272^2 + 705600 = 40 043 584 = 6328^2. Тогда D = [6272 ± 6328] / (2·15) = [6272 ± 6328] / 30. Положительный корень: D = (6272 + 6328) / 30 = 12600 / 30 = 420. Отрицательный корень отвергаем (отрицательная длина не допустима). Ответ: расстояние AB равно 420 км. Проверка (кратко): - v2 = (15/56)(420 − 28) = (15/56)·392 = 105 км/ч, v1 = 120 км/ч. - В первый раз т = x/v1 = 224/120 = 28/15 ч. - При задержке на 0.25 ч второй пройдет 26.25 км; остаток дистанции = 420 − 26.25 = 393.75 км; скорость сближения 225 км/ч; время до встречи после старта обоих t' = 393.75/225 = 1.75 ч; пройдено первым за это время 120·1.75 = 210 км = D/2, значит встреча в середине — условие выполнено. Ответ: 420 км.