Задача: доказать, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Допустим две прямые пересекаются в точке O. Пусть одна прямая образует лучи OA и OC ( OA и OC — противоположные лучи той же прямой), другая — OB и OD ( OB и OD — противоположные лучи той же прямой).
Вероятно, мы имеем два вертикальных угла: ∠AOB и ∠COD (они противоположны друг другу и равны по medida).
Пусть g — биссектриса угла ∠AOB, то есть для любой точки X на линии g выполняется ∠AOX = ∠XOB.
Докажем, что эта же линия g Bisect углa ∠COD.
Для любой точки X на линии g имеем:
- ∠AOX = ∠XOB (по свойству биссектора ∠AOB).
- Луч OC противоположен OA, а луч OD противоположен OB. Следовательно, углы между OC и X, а также между X и OD выражаются через углы с OA и OB следующим образом:
∠COX = 180° − ∠AOX и ∠XOD = 180° − ∠XOB.
Используя равенство ∠AOX = ∠XOB, получаем:
∠COX = 180° − ∠AOX = 180° − ∠XOB = ∠XOD.
Значит для любой точки X на g выполняется ∠COX = ∠XOD, то есть X лежит на биссекторе угла ∠COD. Следовательно, вся линия g (через O) является биссектором угла ∠COD.
Итак, биссектриса угла ∠AOB совпадает с биссектором угла ∠COD. Это и есть смысл утверждения: биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой (они совпадают).
Дополнительно можно заметить, что существует еще внешняя биссекторная прямая, перпендикулярная первой, которая является бисектрисой внешних углов пары вертикальных углов; но для внутреннего случая обе биссектрисы вертикальных углов совпадают на одной прямой.
